Ache um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada: f(x, y) = 3 x^2 + 2 y^3;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar um campo vetorial conservativo sabendo que a função potencial é . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo vetorial, mais especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais. Para resolver, a gente vai precisar usar o conceito de gradiente, que relaciona a função potencial com o campo vetorial conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Basicamente, um campo vetorial é conservativo se ele pode ser obtido a partir do gradiente de uma função potencial. Ou seja, se temos uma função , o campo vetorial conservativo é dado por:
Isso significa que a gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, podemos montar o campo vetorial conservativo utilizando o gradiente:

Resposta

O campo vetorial conservativo é .

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