Ache um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar um campo vetorial conservativo sabendo que a função potencial é
. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo vetorial, mais especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais. Para resolver, a gente vai precisar usar o conceito de gradiente, que relaciona a função potencial com o campo vetorial conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Basicamente, um campo vetorial é conservativo se ele pode ser obtido a partir do gradiente de uma função potencial. Ou seja, se temos uma função
, o campo vetorial conservativo
é dado por:
Isso significa que a gente precisa calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, podemos montar o campo vetorial conservativo
utilizando o gradiente:
Resposta
O campo vetorial conservativo é
.