Ache um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada: f(x, y) = arc_tan(x^2 * y);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função potencial . Nosso objetivo aqui é encontrar um campo vetorial conservativo que corresponda a essa função. Para isso, vamos usar o fato de que, se é a função potencial, então o campo vetorial é dado pelas derivadas parciais de em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Sabemos que a derivada da função em relação a é . Então, aplicando a regra da cadeia:
A derivada de em relação a é . Substituindo isso na equação:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Usando novamente a regra da cadeia:
A derivada de em relação a é . Portanto:

Resposta

O campo vetorial conservativo é dado por:

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