Ache rot F e div F para o campo vetorial dado: F(x, y) = 2x i + 3y j;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o rotacional (rot) e a divergência (div) do campo vetorial . Isso está dentro da matéria de cálculo vetorial, especificamente tratando de operações em campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas do rotacional e da divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a divergência. A divergência de um campo vetorial é dada por:
Isso basicamente mede como o campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto.

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergência para o nosso campo . Aqui, e . Calculando as derivadas parciais:
Então, a divergência é:

Passo 4

Agora, vamos para o rotacional. Em duas dimensões, o rotacional de é dado por:
Isso nos dá uma ideia de quão “giro” o campo possui em um ponto.

Passo 5

Vamos calcular o rotacional para . Temos e . Calculando as derivadas parciais:
Portanto, o rotacional é:

Resposta

A divergência de é 5 e o rotacional de é 0.

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