Ache
e div
para o campo vetorial dado:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o rotacional (rot) e a divergência (div) do campo vetorial
. Isso está dentro da matéria de cálculo vetorial, especificamente tratando de operações em campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas do rotacional e da divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a divergência. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Isso basicamente mede como o campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto.
Passo 3
Agora, vamos calcular a divergência para o nosso campo
. Aqui,
e
. Calculando as derivadas parciais:
Então, a divergência é:
Passo 4
Agora, vamos para o rotacional. Em duas dimensões, o rotacional de
é dado por:
Isso nos dá uma ideia de quão “giro” o campo possui em um ponto.
Passo 5
Vamos calcular o rotacional para
. Temos
e
. Calculando as derivadas parciais:
Portanto, o rotacional é:
Resposta
A divergência de
é 5 e o rotacional de
é 0.