Encontre uma equação para a superfície de nível da função f, dada por
f(x, y, z)=integralx^y 1raiz1-theta^2 d theta+integralraiz2^z 1t raizt^2-1 d t
que passa pelo ponto (0, 12, 2). Além disso, esboce essa superfície.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação de uma superfície de nível da função que passa pelo ponto . A matéria que vamos usar aqui envolve cálculo integral e superfícies de nível. Precisaremos calcular as integrais definidas presentes na função para determinar a constante que define a superfície de nível.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. É como uma “fatia” da função onde todos os pontos dessa superfície têm o mesmo valor da função. Matemáticamente, isso significa que , onde é uma constante.

Passo 3

Vamos calcular o valor de C = f(0, 12, 2) = integral0^12 1raiz1 - theta^2 dtheta + integralraiz2^2 1t raizt^2 - 1 dt usando o ponto dado . Substituindo esses valores na função:

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral:
integral 1raiz1 - theta^2 dtheta = arcsin(theta) + K
Aplicando os limites de 0 a integral0^12 1raiz1 - theta^2 dtheta = arcsin(12) - arcsin(0) = pi6 - 0 = pi6 :

Passo 5

Agora, resolvemos a segunda integral:
integral 1t raizt^2 - 1 dt
Fazendo a substituição integral 1t raizt^2 - 1 dt = 1raizt^2 - 1 + K , temos que integralraiz2^2 1t raizt^2 - 1 dt = 1raiz2^2 - 1 - 1raiz(raiz2)^2 - 1 = 1raiz3 - 11 = 1raiz3 - 1 , o que simplifica para:
Aplicando os limites de a 2:

Passo 6

Somando as duas integrais para encontrar C = pi6 + (1raiz3 - 1) = pi6 + 1raiz3 - 1 :

Passo 7

Agora que temos f(x, y, z) = integralx^y 1raiz1 - theta^2 dtheta + integralraiz2^z 1t raizt^2 - 1 dt = pi6 + 1raiz3 - 1 , a equação da superfície de nível é:
integralx^y 1raiz1 - theta^2 dtheta + integralraiz2^z 1t raizt^2 - 1 dt = pi6 + 1raiz3 - 1
Ou seja:

Passo 8

Para esboçar essa superfície, podemos notar que ela envolve duas variáveis independentes e , com dependente delas. A superfície será uma combinação das curvas definidas pelas integrais, ajustadas para que passem pelo ponto .

Resposta

A equação da superfície de nível é
integralx^y 1raiz1 - theta^2 dtheta + integralraiz2^z 1t raizt^2 - 1 dt = pi6 + 1raiz3 - 1

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