Encontre uma equação para a superfície de nível da função
, dada por
que passa pelo ponto
. Além disso, esboce essa superfície.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação de uma superfície de nível da função
que passa pelo ponto
. A matéria que vamos usar aqui envolve cálculo integral e superfícies de nível. Precisaremos calcular as integrais definidas presentes na função para determinar a constante que define a superfície de nível.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. É como uma “fatia” da função onde todos os pontos dessa superfície têm o mesmo valor da função. Matemáticamente, isso significa que
, onde
é uma constante.
Passo 3
Vamos calcular o valor de
usando o ponto dado
. Substituindo esses valores na função:
Passo 4
Vamos resolver a primeira integral:
Aplicando os limites de 0 a
:
Passo 5
Agora, resolvemos a segunda integral:
Fazendo a substituição
, temos que
, o que simplifica para:
Aplicando os limites de
a 2:
Passo 6
Somando as duas integrais para encontrar
:
Passo 7
Agora que temos
, a equação da superfície de nível é:
Ou seja:
Passo 8
Para esboçar essa superfície, podemos notar que ela envolve duas variáveis independentes
e
, com
dependente delas. A superfície será uma combinação das curvas definidas pelas integrais, ajustadas para que passem pelo ponto
.
Resposta
A equação da superfície de nível é