Ache um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar um campo vetorial conservativo sabendo que a função potencial é
. Isso envolve o conteúdo de cálculo vetorial, especificamente o conceito de campos conservativos e funções potenciais. Para resolver, vamos precisar entender como obter o campo vetorial a partir da função potencial usando o gradiente.
Passo 2
Primeiro, lembra que um campo vetorial conservativo pode ser encontrado tomando o gradiente da função potencial. O gradiente é basicamente um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é calculado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função
. Isso significa que vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 4
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Passo 6
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Passo 7
Agora, juntando tudo, o campo vetorial conservativo
é dado pelo gradiente de
:
Resposta
O campo vetorial conservativo é
.
Exercícios relacionados
Determine se o campo vetorial dado é conservativo:
;
Ache
e
para o campo vetorial dado: