Ache um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada: ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar um campo vetorial conservativo sabendo que a função potencial é . Isso envolve o conteúdo de cálculo vetorial, especificamente o conceito de campos conservativos e funções potenciais. Para resolver, vamos precisar entender como obter o campo vetorial a partir da função potencial usando o gradiente.

Passo 2

Primeiro, lembra que um campo vetorial conservativo pode ser encontrado tomando o gradiente da função potencial. O gradiente é basicamente um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é calculado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . Isso significa que vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 4

Calculando a derivada parcial em relação a :

Passo 5

Calculando a derivada parcial em relação a :

Passo 6

Calculando a derivada parcial em relação a :

Passo 7

Agora, juntando tudo, o campo vetorial conservativo é dado pelo gradiente de :

Resposta

O campo vetorial conservativo é .

Exercícios relacionados

Determine se o campo vetorial dado é conservativo: ;
Ache e para o campo vetorial dado: