Ache e para o campo vetorial dado:

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o rotacional ( ) e a divergência ( ) para o campo vetorial dado: Para isso, vamos usar as definições de divergência e rotacional na análise vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso, e . Agora, calculamos as derivadas parciais:
pois não depende de , e
porque não depende de . Portanto,

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de . Em duas dimensões, o rotacional é dado por:
Novamente, com e , calculamos:
e
Substituindo na fórmula do rotacional:

Resposta

A divergência de é e o rotacional de é:

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Determine se o campo vetorial dado é conservativo: ;
Ache um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada: ;
Prove que o campo vetorial é conservativo e ache uma função ao potencial: ;
Prove que o campo vetorial é conservativo e ache uma função ao potencial: