integral 3 xraiz4 x^2+5 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de 3xraiz4x^2+5 em relação a x. A gente vai usar conceitos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição algébrica para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma variável mais simples. Olhando para o denominador, vemos 4x^2 + 5. Vamos chamar isso de u:
u = 4x^2 + 5

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para ajudar na substituição. Derivando u:
dudx = 8x implies du = 8x , dx

Passo 4

Queremos expressar 3x , dx em termos de du. Da equação anterior, temos du = 8x , dx, então:
x , dx = du8
Multiplicando ambos os lados por 3:
3x , dx = 38 du

Passo 5

Agora substituímos u e du na integral original:
integral 3xraiz4x^2+5 , dx = integral 38 duraizu = 38 integral u^-1/2 du

Passo 6

Vamos integrar u^-1/2:
integral u^-1/2 du = 2u^1/2 + C
Então:
38 cdot 2u^1/2 = 34 raizu + C

Passo 7

Por fim, substituímos u de volta para x:
34 raiz4x^2+5 + C

Resposta

A integral é igual a 34raiz4x^2+5 + C, onde C é a constante de integração.

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