Determine se o campo vetorial dado é conservativo: F(x, y) = (3 x^2 - 2 y^2) i + (3 - 4 x y) j;

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer: temos um campo vetorial e queremos descobrir se ele é conservativo. Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos. Para resolver isso, vamos precisar calcular algumas derivadas parciais e comparar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial . Geralmente, um campo vetorial em duas dimensões é escrito como , onde e são funções de e .
Aqui, temos:

Passo 3

Para verificar se o campo é conservativo, usamos uma condição importante: em duas dimensões, o campo é conservativo se e somente se as derivadas parciais satisfazem
Ou seja, as derivadas cruzadas de e devem ser iguais.

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Comparando as duas derivadas que calculamos:
Vemos que elas são iguais, ou seja:
Isso satisfaz a condição para que o campo seja conservativo.

Resposta

Sim, o campo vetorial é conservativo.

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