Determine se o campo vetorial dado é conservativo:
;
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer: temos um campo vetorial
e queremos descobrir se ele é conservativo. Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos. Para resolver isso, vamos precisar calcular algumas derivadas parciais e comparar os resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial
. Geralmente, um campo vetorial em duas dimensões é escrito como
, onde
e
são funções de
e
.
Aqui, temos:
Passo 3
Para verificar se o campo é conservativo, usamos uma condição importante: em duas dimensões, o campo
é conservativo se e somente se as derivadas parciais satisfazem
Ou seja, as derivadas cruzadas de
e
devem ser iguais.
Passo 4
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Comparando as duas derivadas que calculamos:
Vemos que elas são iguais, ou seja:
Isso satisfaz a condição para que o campo seja conservativo.
Resposta
Sim, o campo vetorial
é conservativo.
Exercícios relacionados
Ache um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada:
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Ache
e
para o campo vetorial dado:
Prove que o campo vetorial é conservativo e ache uma função
ao potencial:
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