integral1^raiz2 t e^-t^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de no intervalo de 1 até . Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente utilizando técnicas de substituição para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observando a função u = -t^2 , notamos que o termo sugere uma função exponencial cujo expoente é uma função quadrática. Para facilitar, vamos fazer a substituição:

Passo 3

Agora, vamos derivar dudt = -2t Rightarrow du = -2t,dt em relação a t,dt = -12,du para encontrar :
Isso nos permite resolver para :

Passo 4

Substituindo integral1^raiz2 t e^-t^2,dt = integralu(1)^u(raiz2) e^u (-12,du) e = -12 integralu(1)^u(raiz2) e^u,du na integral original:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos calcular os novos limites de integração após a substituição:
u(1) = -(1)^2 = -1
u(raiz2) = -(raiz2)^2 = -2
Então, a integral fica:
-12 integral-1^-2 e^u,du

Passo 6

Reordenando os limites de integração para eliminar o sinal negativo:
-12 integral-1^-2 e^u,du = 12 integral-2^-1 e^u,du

Passo 7

Agora, vamos integrar integral e^u,du = e^u + C em relação a 12 [ e^-1 - e^-2 ] :
Aplicando os limites de integração:

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
e^-1 - e^-22

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