Ache um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada: f(x, y, z) = 2 x^3 - 3 x^2 y + x y^2 - 4 z^3;

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo vetorial. A questão pede para encontrar um campo vetorial conservativo sabendo que a função potencial é . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente, que relaciona a função potencial com o campo vetorial conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial. Ou seja, se , então é conservativo. O gradiente é um vetor que tem como componentes as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais da função :
  • Derivada em relação a :
  • Derivada em relação a :
  • Derivada em relação a :

Passo 4

Agora, juntando todas as derivadas parciais, o campo vetorial conservativo é dado por:

Resposta

O campo vetorial conservativo é:

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