Ache um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada:
;
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de cálculo vetorial. A questão pede para encontrar um campo vetorial conservativo sabendo que a função potencial é
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de gradiente, que relaciona a função potencial com o campo vetorial conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial. Ou seja, se
, então
é conservativo. O gradiente
é um vetor que tem como componentes as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais da função
:
-
Derivada em relação a
: -
Derivada em relação a
: -
Derivada em relação a
:
Passo 4
Agora, juntando todas as derivadas parciais, o campo vetorial conservativo
é dado por:
Resposta
O campo vetorial conservativo é: