Ache um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada: f(x, y) = y * e^(x) - x * e^(y);

Passo 1

Beleza! A gente tem que encontrar um campo vetorial conservativo a partir de uma função potencial dada. O conteúdo aqui envolve cálculo vetorial, especificamente vetores conservativos e funções potenciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente da função potencial, que nos dá o campo vetorial conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função potencial. Uma função potencial está relacionada a um campo vetorial conservativo pelo gradiente dessa função. Ou seja:
O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, vamos formar o campo vetorial conservativo :

Resposta

O campo vetorial conservativo é:

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