Ache um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada:
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Passo 1
Beleza! A gente tem que encontrar um campo vetorial conservativo a partir de uma função potencial dada. O conteúdo aqui envolve cálculo vetorial, especificamente vetores conservativos e funções potenciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular o gradiente da função potencial, que nos dá o campo vetorial conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função potencial. Uma função potencial
está relacionada a um campo vetorial conservativo
pelo gradiente dessa função. Ou seja:
O gradiente
é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas, vamos formar o campo vetorial conservativo
:
Resposta
O campo vetorial conservativo é: