Ache um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada:
;
Passo 1
Beleza! A gente tem um exercício que pede para encontrar um campo vetorial conservativo a partir de uma função potencial. A função dada é
. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial conservativo e como relacionar ele com a função potencial usando o cálculo de derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um campo vetorial conservativo. Basicamente, um campo vetorial
é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial
. Ou seja:
O gradiente
é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis. No nosso caso, como
depende de
,
e
, o gradiente vai ter três componentes.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora que temos todas as derivadas parciais, podemos montar o campo vetorial conservativo
usando o gradiente:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Resposta
O campo vetorial conservativo é: