Ache um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada: f(x, y, z) = x^2 * y * e^(-4 * z);

Passo 1

Beleza! A gente tem um exercício que pede para encontrar um campo vetorial conservativo a partir de uma função potencial. A função dada é . Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é um campo vetorial conservativo e como relacionar ele com a função potencial usando o cálculo de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um campo vetorial conservativo. Basicamente, um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial . Ou seja:
O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis. No nosso caso, como depende de , e , o gradiente vai ter três componentes.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora que temos todas as derivadas parciais, podemos montar o campo vetorial conservativo usando o gradiente:
Substituindo as derivadas que calculamos:

Resposta

O campo vetorial conservativo é:

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