Determine se o campo vetorial dado é conservativo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente determinar se um campo vetorial dado é conservativo. Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial. Pra resolver, a gente vai precisar lembrar que um campo vetorial é conservativo se a derivada cruzada (ou seja, as derivadas parciais das componentes
e
) atenderem a uma certa condição. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial
. Temos:
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
:
Aqui, derivamos cada termo de
em relação a
. O segundo termo,
, não depende de
, então sua derivada é zero.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
:
Assim como antes, derivamos cada termo de
em relação a
. O termo
não depende de
, então sua derivada é zero.
Resposta
Como
, o campo vetorial
é conservativo.