Determine se o campo vetorial dado é conservativo: F(x, y) = (e^x e^y + 6 e^(2x)) i + (e^x e^y - 2 e^y) j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente determinar se um campo vetorial dado é conservativo. Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial. Pra resolver, a gente vai precisar lembrar que um campo vetorial é conservativo se a derivada cruzada (ou seja, as derivadas parciais das componentes e ) atenderem a uma certa condição. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial . Temos:
Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, :
Aqui, derivamos cada termo de em relação a . O segundo termo, , não depende de , então sua derivada é zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, :
Assim como antes, derivamos cada termo de em relação a . O termo não depende de , então sua derivada é zero.

Resposta

Como , o campo vetorial é conservativo.

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