Ache um campo vetorial conservativo que tenha o potencial indicado
b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um campo vetorial conservativo que tenha como função potencial . Isso está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente ao estudo de campos conservativos e funções potenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais para encontrar as componentes do campo vetorial a partir da função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial. Ou seja, se é o campo vetorial e é a função potencial, então:
Aqui, representa o gradiente de .

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente da função potencial . O gradiente é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de em relação a cada variável.
Então, temos:

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 5

Assim, o gradiente de é:
Portanto, o campo vetorial conservativo que estamos procurando é:

Resposta

O campo vetorial conservativo com a função potencial é:

Exercícios relacionados

No mercado de livros, a curva de demanda é e a curva de oferta é . Encontre o ponto de equilíbrio.
Sendo e , calcule
Confirme que é uma função potencial de
b) e .
Considere que a função de demanda inicial para um serviço é . Devido a uma crise econômica, a demanda pelo serviço diminui, resultando em um novo deslocamento da função de demanda para .
a) Desenhe as duas curvas de demanda no mesmo gráfico.
b) Explique o efeito do deslocamento negativo da curva de demanda no mercado.