Ache um campo vetorial conservativo que tenha o potencial indicado
b) f(x, y, z) = x^2 - 3y^2 + 4z^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um campo vetorial conservativo que tenha como função potencial . Isso está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente ao estudo de campos conservativos e funções potenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais para encontrar as componentes do campo vetorial a partir da função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial. Ou seja, se é o campo vetorial e é a função potencial, então:
Aqui, representa o gradiente de .

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente da função potencial . O gradiente é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de em relação a cada variável.
Então, temos:

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 5

Assim, o gradiente de é:
Portanto, o campo vetorial conservativo que estamos procurando é:

Resposta

O campo vetorial conservativo com a função potencial é:

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