Ache um campo vetorial conservativo que tenha o potencial indicado
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar um campo vetorial conservativo que tenha como função potencial
. Isso está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente ao estudo de campos conservativos e funções potenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas parciais para encontrar as componentes do campo vetorial a partir da função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial. Ou seja, se
é o campo vetorial e
é a função potencial, então:
Aqui,
representa o gradiente de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente da função potencial
. O gradiente é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de
em relação a cada variável.
Então, temos:
Passo 4
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Assim, o gradiente de
é:
Portanto, o campo vetorial conservativo
que estamos procurando é:
Resposta
O campo vetorial conservativo com a função potencial
é: