Confirme que é uma função potencial de
b) e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função escalar e um campo vetorial . O objetivo aqui é confirmar se é uma função potencial de . Isso significa que pode ser obtido a partir do gradiente de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é gradiente e como calcular as derivadas parciais de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de , denotado por , é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a , e . Ou seja,
Se é uma função potencial de , então .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :
E, por fim, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos montar o vetor gradiente com as derivadas que calculamos:

Passo 5

Comparando com o campo vetorial , vemos que são exatamente iguais.

Resposta

Sim, é uma função potencial de .

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Ache um campo vetorial conservativo que tenha o potencial indicado
b)
No mercado de livros, a curva de demanda é e a curva de oferta é . Encontre o ponto de equilíbrio.
Considere que a função de demanda inicial para um serviço é . Devido a uma crise econômica, a demanda pelo serviço diminui, resultando em um novo deslocamento da função de demanda para .
a) Desenhe as duas curvas de demanda no mesmo gráfico.
b) Explique o efeito do deslocamento negativo da curva de demanda no mercado.
Esboçar o gráfico das curvas representadas pelas seguintes funções vetoriais:
a) .