Confirme que u(x, y, z) é uma função potencial de F
b) u(x, y, z) = x sen(z) + y sen(x) + z sen(y) e F(x, y, z) = (sen(z) + y cos(x)) i + (sen(x) + z cos(y)) j + (x cos(z) + sen(y)) k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função escalar e um campo vetorial . O objetivo aqui é confirmar se é uma função potencial de . Isso significa que pode ser obtido a partir do gradiente de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é gradiente e como calcular as derivadas parciais de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de , denotado por , é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a , e . Ou seja,
Se é uma função potencial de , então .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :
E, por fim, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos montar o vetor gradiente com as derivadas que calculamos:

Passo 5

Comparando com o campo vetorial , vemos que são exatamente iguais.

Resposta

Sim, é uma função potencial de .

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