Ache um campo vetorial conservativo que tenha o potencial indicado
a) f(x, y) = arctg(x y);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar um campo vetorial conservativo que tenha como potencial a função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Vectorial, onde usamos gradientes para encontrar campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial conservativo pode ser obtido calculando o gradiente da função potencial. Ou seja, se é o potencial, então o campo vetorial é dado por:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Vamos calcular :
Lembre que a derivada de em relação a é . Aplicando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Usando a mesma regra da cadeia:

Resposta

Então, o campo vetorial conservativo que tem como potencial é:

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