Verifique que intercepta em um único ponto e determine o ponto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir onde a equação intercepta a superfície em apenas um ponto. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e geometria analítica para resolver esse sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície para facilitar. A equação dada é:
Podemos dividir os dois lados por 2 para isolar :

Passo 3

Agora, vamos usar a equação do plano e substituir pela expressão que encontramos:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
Simplificando as frações:

Passo 5

Reorganizando os termos para formar uma equação quadrática:
Multiplicando todos os termos por 36 (o mínimo múltiplo comum de 9 e 4) para eliminar as frações:

Passo 6

Vamos reescrever a equação para facilitar a identificação de possíveis soluções:

Passo 7

Esse é um sistema de equações quadráticas que geralmente pode ter múltiplas soluções. Mas o exercício pede para verificarmos se há apenas um ponto de interseção. Para isso, analisamos o discriminante ou resolvemos o sistema.

Passo 8

Vamos voltar às duas equações originais e tentar resolver o sistema:
Substituindo na primeira equação:
Já fizemos até aqui, e continuando, podemos tentar isolar uma variável.

Passo 9

Para simplificar, vamos tentar expressar em termos de ou vice-versa. Vamos isolar na primeira equação:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 10

Esse sistema parece complicado para resolver diretamente, então vamos procurar uma solução particular. Suponha que , então:
Multiplicando por 9:
Rearranjando:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, não há solução real para .

Passo 11

Vamos tentar outra abordagem assumindo que . Isso nos dá:
Substituindo na primeira equação:
Simplificando:
Multiplicando por 36:
Rearranjando:
Calculando o discriminante:
Ainda negativo, indicando que essa suposição também não funciona.

Passo 12

Parece que a única maneira é resolver o sistema de equações de forma completa. Vamos usar métodos como substituição ou equacionamento para encontrar e .
Voltemos à equação simplificada:
Podemos completar o quadrado para e :
Para :
Para :
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:

Passo 13

A única maneira de a soma de termos quadráticos ser igual a zero é se cada termo for zero:
Isso significa que:

Passo 14

Agora que temos e , substituímos esses valores em uma das equações para encontrar . Usando :

Resposta

A interseção ocorre em um único ponto, que é .

Exercícios relacionados

Ache um campo vetorial conservativo que tenha o potencial indicado
a) ;
Escreva uma equação do plano que contém o ponto e é perpendicular a cada um dos planos e .
Calcule a inversa da Transformada de Laplace , sendo:
(e)
Verifique se os campos vetoriais são conservativos e em caso afirmativo determine uma função potencial para os mesmos
b)