Verifique que
intercepta
em um único ponto e determine o ponto.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir onde a equação
intercepta a superfície
em apenas um ponto. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e geometria analítica para resolver esse sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície para facilitar. A equação dada é:
Podemos dividir os dois lados por 2 para isolar
:
Passo 3
Agora, vamos usar a equação do plano
e substituir
pela expressão que encontramos:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão:
Simplificando as frações:
Passo 5
Reorganizando os termos para formar uma equação quadrática:
Multiplicando todos os termos por 36 (o mínimo múltiplo comum de 9 e 4) para eliminar as frações:
Passo 6
Vamos reescrever a equação para facilitar a identificação de possíveis soluções:
Passo 7
Esse é um sistema de equações quadráticas que geralmente pode ter múltiplas soluções. Mas o exercício pede para verificarmos se há apenas um ponto de interseção. Para isso, analisamos o discriminante ou resolvemos o sistema.
Passo 8
Vamos voltar às duas equações originais e tentar resolver o sistema:
Substituindo
na primeira equação:
Já fizemos até aqui, e continuando, podemos tentar isolar uma variável.
Passo 9
Para simplificar, vamos tentar expressar
em termos de
ou vice-versa. Vamos isolar
na primeira equação:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 10
Esse sistema parece complicado para resolver diretamente, então vamos procurar uma solução particular. Suponha que
, então:
Multiplicando por 9:
Rearranjando:
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, não há solução real para
.
Passo 11
Vamos tentar outra abordagem assumindo que
. Isso nos dá:
Substituindo na primeira equação:
Simplificando:
Multiplicando por 36:
Rearranjando:
Calculando o discriminante:
Ainda negativo, indicando que essa suposição também não funciona.
Passo 12
Parece que a única maneira é resolver o sistema de equações de forma completa. Vamos usar métodos como substituição ou equacionamento para encontrar
e
.
Voltemos à equação simplificada:
Podemos completar o quadrado para
e
:
Para
:
Para
:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Passo 13
A única maneira de a soma de termos quadráticos ser igual a zero é se cada termo for zero:
Isso significa que:
Passo 14
Agora que temos
e
, substituímos esses valores em uma das equações para encontrar
. Usando
:
Resposta
A interseção ocorre em um único ponto, que é
.
Exercícios relacionados
Ache um campo vetorial conservativo que tenha o potencial indicado
a) ;
a)
Escreva uma equação do plano que contém o ponto
e é perpendicular a cada um dos planos
e
.
Calcule a inversa da Transformada de Laplace
, sendo:
(e)
(e)
Verifique se os campos vetoriais são conservativos e em caso afirmativo determine uma função potencial para os mesmos
b)
b)