Escreva uma equação do plano que contém o ponto
e é perpendicular a cada um dos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto
e que é perpendicular a dois outros planos dados:
e
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especialmente sobre planos e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores normais dos dois planos que já conhecemos. A equação geral de um plano é
, onde
é o vetor normal ao plano.
Para o primeiro plano
, o vetor normal é
.
Para o segundo plano
, o vetor normal é
.
Passo 3
Agora, como o plano que queremos encontrar é perpendicular a ambos os planos dados, o vetor normal desse novo plano deve ser perpendicular aos vetores normais
e
. Ou seja, o vetor normal do nosso plano procurado, vamos chamar de
, deve satisfazer:
Isso significa que o vetor
é ortogonal a ambos
e
.
Passo 4
Para encontrar esse vetor
, podemos resolver o sistema de equações resultante dos produtos escalares:
onde
.
Passo 5
Vamos resolver esse sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Igualando as duas expressões para
:
Passo 6
Substituindo
na expressão
:
Então, o vetor normal
. Podemos fatorar o
:
Como o vetor normal pode ser qualquer múltiplo desse vetor, podemos escolher
para simplificar:
Passo 7
Agora que temos o vetor normal do nosso plano
e um ponto por onde o plano passa
, podemos usar a equação geral do plano:
Substituindo
,
,
e
:
Passo 8
Vamos simplificar essa equação:
Agrupando os termos:
Ou, multiplicando todos os termos por -1 para deixar a equação de forma padrão:
Resposta
A equação do plano procurado é:
Exercícios relacionados
Determine a equação do plano
que contém os pontos
e
e é perpendicular ao plano
.
Sendo
, calcule
Ache um campo vetorial conservativo que tenha o potencial indicado
a) ;
a)
Verifique que
intercepta
em um único ponto e determine o ponto.