Escreva uma equação do plano que contém o ponto A = (1, -2, 3) e é perpendicular a cada um dos planos 2 x + y - z = 2 e x - y - z = 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pelo ponto e que é perpendicular a dois outros planos dados: e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria espacial, especialmente sobre planos e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais dos dois planos que já conhecemos. A equação geral de um plano é , onde é o vetor normal ao plano.
Para o primeiro plano , o vetor normal é .
Para o segundo plano , o vetor normal é .

Passo 3

Agora, como o plano que queremos encontrar é perpendicular a ambos os planos dados, o vetor normal desse novo plano deve ser perpendicular aos vetores normais e . Ou seja, o vetor normal do nosso plano procurado, vamos chamar de , deve satisfazer:
Isso significa que o vetor é ortogonal a ambos e .

Passo 4

Para encontrar esse vetor , podemos resolver o sistema de equações resultante dos produtos escalares:
onde .

Passo 5

Vamos resolver esse sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Igualando as duas expressões para :

Passo 6

Substituindo na expressão :
Então, o vetor normal . Podemos fatorar o :
Como o vetor normal pode ser qualquer múltiplo desse vetor, podemos escolher para simplificar:

Passo 7

Agora que temos o vetor normal do nosso plano e um ponto por onde o plano passa , podemos usar a equação geral do plano:
Substituindo , , e :

Passo 8

Vamos simplificar essa equação:
Agrupando os termos:
Ou, multiplicando todos os termos por -1 para deixar a equação de forma padrão:

Resposta

A equação do plano procurado é:

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