Determine a equação do plano alpha que contém os pontos A = (2, 0, 5) e B = (0, 2, -1) e é perpendicular ao plano beta: x + 3y - z = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a equação de um plano, chamado de , que passa por dois pontos específicos e que é perpendicular a outro plano dado, o . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como vetores e produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos que estão no plano . Temos os pontos e . A partir desses dois pontos, podemos formar um vetor que está contido no plano . Esse vetor é .

Passo 3

Vamos calcular o vetor . Para isso, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :

Passo 4

Sabemos que o plano é perpendicular ao plano , cuja equação é . O vetor normal ao plano é dado pelos coeficientes de , e na equação, ou seja, .

Passo 5

Para encontrar o vetor normal ao plano , vamos usar o fato de que ele deve ser perpendicular tanto ao vetor quanto ao vetor normal . Ou seja, deve ser perpendicular a ambos os vetores. Para encontrar um vetor que seja perpendicular a dois vetores dados, usamos o produto vetorial.

Passo 6

Vamos calcular o produto vetorial entre e :

Passo 7

Agora que temos o vetor normal ao plano , podemos escrever a equação do plano usando a forma geral:
Onde é um ponto qualquer no plano e é um ponto conhecido no plano.
Substituindo os valores:

Passo 8

Vamos simplificar a equação:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 8:

Resposta

A equação do plano é .

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