Determine a equação do plano que contém os pontos e e é perpendicular ao plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a equação de um plano, chamado de , que passa por dois pontos específicos e que é perpendicular a outro plano dado, o . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como vetores e produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos que estão no plano . Temos os pontos e . A partir desses dois pontos, podemos formar um vetor que está contido no plano . Esse vetor é .
Passo 3
Vamos calcular o vetor . Para isso, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de :
Passo 4
Sabemos que o plano é perpendicular ao plano , cuja equação é . O vetor normal ao plano é dado pelos coeficientes de , e na equação, ou seja, .
Passo 5
Para encontrar o vetor normal ao plano , vamos usar o fato de que ele deve ser perpendicular tanto ao vetor quanto ao vetor normal . Ou seja, deve ser perpendicular a ambos os vetores. Para encontrar um vetor que seja perpendicular a dois vetores dados, usamos o produto vetorial.
Passo 6
Vamos calcular o produto vetorial entre e :
Passo 7
Agora que temos o vetor normal ao plano , podemos escrever a equação do plano usando a forma geral:
Onde é um ponto qualquer no plano e é um ponto conhecido no plano.
Substituindo os valores:
Passo 8
Vamos simplificar a equação:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 8: