Ache o co-seno do ângulo entre as retas X=(-52, 2,0)+lambda(12, 1,1) e l3 x-2 y+16=0 3 x-z=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o cosseno do ângulo entre duas retas no espaço. Para isso, vamos usar conceitos de vetores diretores e produto escalar. Vamos seguir passo a passo para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das duas retas dadas.
A primeira reta está na forma paramétrica:
X = (-52,, 2,, 0) + lambda (12,, 1,, 1)
Aqui, o vetor diretor é:
u = (12,, 1,, 1)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor diretor da segunda reta. Essa reta é a interseção de dois planos:
3x - 2y + 16 = 0 3x - z = 0
Para achar o vetor diretor dessa reta, vamos calcular o produto vetorial dos vetores normais dos planos.

Passo 4

Os vetores normais dos planos são:
n1 = (3,, -2,, 0) e n2 = (3,, 0,, -1)
O vetor diretor será o produto vetorial desses dois vetores:
v = n1 times n2

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial:
v = i & j & k 3 & -2 & 0 3 & 0 & -1 = i((-2)(-1) - (0)(0)) - j((3)(-1) - (0)(3)) + k((3)(0) - (-2)(3))
v = i(2) - j(-3) + k(6) = (2,, 3,, 6)

Passo 6

Agora que temos os dois vetores diretores:
u = (12,, 1,, 1) e v = (2,, 3,, 6)
Vamos calcular o produto escalar entre eles:
u cdot v = (12)(2) + (1)(3) + (1)(6) = 1 + 3 + 6 = 10

Passo 7

Precisamos também das normas dos vetores:
|u| = raiz(12)^2 + 1^2 + 1^2 = raiz14 + 1 + 1 = raiz94 = 32
|v| = raiz2^2 + 3^2 + 6^2 = raiz4 + 9 + 36 = raiz49 = 7

Passo 8

O cosseno do ângulo entre as duas retas é dado por:
cos(theta) = u cdot v|u| cdot |v|
Substituindo os valores:
cos(theta) = 10(32) cdot 7 = 10212 = 2021

Resposta

O cosseno do ângulo entre as duas retas é .

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