Sejam e , distintos. Determine equação para os pontos do plano que satisfazem . Que curva é essa?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar uma equação que descreva todos os pontos no plano que satisfazem que o vetor de para é perpendicular ao vetor de para . Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre vetores e perpendicularidade. Para resolver, vamos usar a definição de perpendicularidade entre vetores e um pouco de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa XA cdot XB = 0 . Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar deles for zero. Então, temos que o produto escalar de e deve ser igual a zero:
Passo 3
Vamos expressar os vetores XA = (a - x, b - y) e XB = (c - x, d - y) em termos das coordenadas dos pontos. Se , então:
Passo 4
Agora, calculamos o produto escalar desses dois vetores:
(a - x)(c - x) + (b - y)(d - y) = 0
Vamos expandir essa expressão:
ac - a x - c x + x^2 + bd - b y - d y + y^2 = 0
Passo 5
Rearranjando os termos, temos:
x^2 + y^2 - x(a + c) - y(b + d) + (ac + bd) = 0
Essa é a equação que caracteriza os pontos que satisfazem a condição dada.
Passo 6
Para identificar que curva é essa, observamos que a equação é uma equação geral de segundo grau na forma:
x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
Isso representa um círculo no plano, desde que os coeficientes satisfaçam certas condições.
Resposta
A equação dos pontos x^2 + y^2 - (a + c)x - (b + d)y + (ac + bd) = 0 é: