Sejam e , distintos. Determine equação para os pontos do plano que satisfazem . Que curva é essa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar uma equação que descreva todos os pontos no plano que satisfazem que o vetor de para é perpendicular ao vetor de para . Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente sobre vetores e perpendicularidade. Para resolver, vamos usar a definição de perpendicularidade entre vetores e um pouco de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Dois vetores são perpendiculares se o produto escalar deles for zero. Então, temos que o produto escalar de e deve ser igual a zero:

Passo 3

Vamos expressar os vetores e em termos das coordenadas dos pontos. Se , então:

Passo 4

Agora, calculamos o produto escalar desses dois vetores:
Vamos expandir essa expressão:

Passo 5

Rearranjando os termos, temos:
Essa é a equação que caracteriza os pontos que satisfazem a condição dada.

Passo 6

Para identificar que curva é essa, observamos que a equação é uma equação geral de segundo grau na forma:
Isso representa um círculo no plano, desde que os coeficientes satisfaçam certas condições.

Resposta

A equação dos pontos é:
Essa curva é um círculo no plano.

Exercícios relacionados

Se
determine
Verifique se os planos dados são perpendiculares nos casos:
a) e
b) e .
Ache o co-seno do ângulo entre as retas e .
Considere as matrizes e com respectivas ordens: e . Determine quais das seguintes expressões matriciais são possíveis e determine a respectiva ordem.
(a) .