Ache as componentes coordenadas esféricas da velocidade e da aceleração de uma partícula em movimento:
Sugestão:
Nota: Usando as técnicas lagrangianas da Seção 17.3, podemos obter esses resultados de um modo mais elegante. O ponto em
significa derivada em relação ao tempo,
. Newton é que deu origem a essa notação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as componentes da velocidade e da aceleração de uma partícula que está se movendo usando coordenadas esféricas. Coordenadas esféricas são um jeito de descrever a posição de um ponto no espaço usando três valores:
(a distância do ponto até a origem),
(o ângulo em relação ao eixo z) e
(o ângulo ao redor do eixo z). Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial para derivar a posição em relação ao tempo e chegar nas expressões de velocidade e aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como é a posição de uma partícula em coordenadas esféricas. A posição
pode ser escrita em termos dos vetores unitários
,
e
:
Mas para facilitar, vamos expandir isso em termos das coordenadas cartesianas
,
e
:
Aqui,
é a distância da partícula à origem,
é o ângulo polar, e
é o ângulo azimutal.
Passo 3
Agora que temos a posição, a próxima etapa é encontrar a velocidade
. A velocidade é simplesmente a derivada da posição em relação ao tempo:
Vamos derivar cada componente separadamente. Lembrando que
,
e
podem variar com o tempo, então precisamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 4
Fazendo a derivada, temos:
Aqui:
-
é a derivada de em relação ao tempo. -
é a derivada de em relação ao tempo. -
é a derivada de em relação ao tempo.
Então, as componentes da velocidade em coordenadas esféricas são:
Passo 5
Agora, vamos para a aceleração
, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Vamos derivar cada termo da velocidade separadamente, lembrando novamente de aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 6
Após derivar, obtemos:
Explicando cada termo:
-
é a segunda derivada de . -
é a segunda derivada de . -
é a segunda derivada de .
Resposta
As componentes coordenadas esféricas da velocidade são:
E as componentes coordenadas esféricas da aceleração são: