Ache as componentes coordenadas esféricas da velocidade e da aceleração de uma partícula em movimento:
Sugestão:
Nota: Usando as técnicas lagrangianas da Seção 17.3, podemos obter esses resultados de um modo mais elegante. O ponto em significa derivada em relação ao tempo, . Newton é que deu origem a essa notação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as componentes da velocidade e da aceleração de uma partícula que está se movendo usando coordenadas esféricas. Coordenadas esféricas são um jeito de descrever a posição de um ponto no espaço usando três valores: (a distância do ponto até a origem), (o ângulo em relação ao eixo z) e (o ângulo ao redor do eixo z). Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial para derivar a posição em relação ao tempo e chegar nas expressões de velocidade e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como é a posição de uma partícula em coordenadas esféricas. A posição pode ser escrita em termos dos vetores unitários , e :
Mas para facilitar, vamos expandir isso em termos das coordenadas cartesianas , e :
Aqui, é a distância da partícula à origem, é o ângulo polar, e é o ângulo azimutal.

Passo 3

Agora que temos a posição, a próxima etapa é encontrar a velocidade . A velocidade é simplesmente a derivada da posição em relação ao tempo:
Vamos derivar cada componente separadamente. Lembrando que , e podem variar com o tempo, então precisamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 4

Fazendo a derivada, temos:
Aqui:
  • é a derivada de em relação ao tempo.
  • é a derivada de em relação ao tempo.
  • é a derivada de em relação ao tempo.
Então, as componentes da velocidade em coordenadas esféricas são:

Passo 5

Agora, vamos para a aceleração , que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Vamos derivar cada termo da velocidade separadamente, lembrando novamente de aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 6

Após derivar, obtemos:
Explicando cada termo:
  • é a segunda derivada de .
  • é a segunda derivada de .
  • é a segunda derivada de .

Resposta

As componentes coordenadas esféricas da velocidade são:
E as componentes coordenadas esféricas da aceleração são:

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