Ache as componentes coordenadas esféricas da velocidade e da aceleração de uma partícula em movimento:
& vr=dotr & vtheta=r dottheta & vvarphi=r sen theta dotvarphi & ar=ddotr-r dottheta^2-r sen^2 theta dotvarphi^2, & atheta=r ddottheta+2 dotr dottheta-r sen theta cos theta dotvarphi^2, & avarphi=r sen theta ddotvarphi+2 dotr sen theta dotvarphi+2 r cos theta dottheta dotvarphi
Sugestão:
r(t) & =r(t) r(t) & =[x sen theta(t) cos varphi(t)+y sen theta(t) sen varphi(t)+z cos theta(t)] r(t)
Nota: Usando as técnicas lagrangianas da Seção 17.3, podemos obter esses resultados de um modo mais elegante. O ponto em dotr, dottheta, dotvarphi significa derivada em relação ao tempo, dotr=d r / d t, dottheta= d theta / d t, dotvarphi=d varphi / d t. Newton é que deu origem a essa notação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as componentes da velocidade e da aceleração de uma partícula que está se movendo usando coordenadas esféricas. Coordenadas esféricas são um jeito de descrever a posição de um ponto no espaço usando três valores: (a distância do ponto até a origem), (o ângulo em relação ao eixo z) e (o ângulo ao redor do eixo z). Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial para derivar a posição em relação ao tempo e chegar nas expressões de velocidade e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como é a posição de uma partícula em coordenadas esféricas. A posição r(t) = r(t) r(t) pode ser escrita em termos dos vetores unitários r(t) = r(t) [ x sintheta(t) cosvarphi(t) + y sintheta(t) sinvarphi(t) + z costheta(t) ] , e :
Mas para facilitar, vamos expandir isso em termos das coordenadas cartesianas , e :
Aqui, é a distância da partícula à origem, é o ângulo polar, e é o ângulo azimutal.

Passo 3

Agora que temos a posição, a próxima etapa é encontrar a velocidade v(t) = dr(t)dt . A velocidade é simplesmente a derivada da posição em relação ao tempo:
Vamos derivar cada componente separadamente. Lembrando que , e podem variar com o tempo, então precisamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 4

Fazendo a derivada, temos:
v(t) = dotr r + r dottheta theta + r sintheta dotvarphi varphi
Aqui:
  • vr = dotr, vtheta = r dottheta, vvarphi = r sintheta dotvarphi é a derivada de em relação ao tempo.
  • é a derivada de em relação ao tempo.
  • é a derivada de em relação ao tempo.
Então, as componentes da velocidade em coordenadas esféricas são:

Passo 5

Agora, vamos para a aceleração a(t) = dv(t)dt , que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Vamos derivar cada termo da velocidade separadamente, lembrando novamente de aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 6

Após derivar, obtemos:
a(t) = ( ddotr - r dottheta^2 - r sin^2theta dotvarphi^2 ) r + ( r ddottheta + 2 dotr dottheta - r sintheta costheta dotvarphi^2 ) theta + ( r sintheta ddotvarphi + 2 dotr sintheta dotvarphi + 2 r costheta dottheta dotvarphi ) varphi
Explicando cada termo:
  • é a segunda derivada de .
  • é a segunda derivada de .
  • é a segunda derivada de .

Resposta

As componentes coordenadas esféricas da velocidade são:
vr &= dotr vtheta &= r dottheta vvarphi &= r sintheta dotvarphi
E as componentes coordenadas esféricas da aceleração são:
ar &= ddotr - r dottheta^2 - r sin^2theta dotvarphi^2, atheta &= r ddottheta + 2 dotr dottheta - r sintheta costheta dotvarphi^2, avarphi &= r sintheta ddotvarphi + 2 dotr sintheta dotvarphi + 2 r costheta dottheta dotvarphi

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