O momento angular orbital
de uma partícula é dado por
, em que
é o momento linear. Com as velocidades linear e angular relacionadas por
, mostre que
Aqui,
é um vetor unitário na direção
. Para
isso se reduz a
, com o momento de inércia
dado por
. Na Seção 3.5 esse resultado é generalizado para formar um tensor de inércia.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que demonstrar uma relação para o momento angular orbital
de uma partícula, utilizando as definições fornecidas. O conteúdo envolvido aqui é de mecânica clássica, especificamente sobre momento angular e produto vetorial. Para resolver, vamos precisar entender as definições de momento angular, momento linear, e como aplicar o produto vetorial entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição do momento angular orbital:
onde
é o vetor posição e
é o momento linear da partícula. O momento linear é dado por:
com
sendo a massa da partícula e
sua velocidade.
Passo 3
Sabemos também que a velocidade linear
está relacionada à velocidade angular
pela expressão:
Vamos substituir essa expressão na definição do momento linear:
Passo 4
Agora, substituímos
na expressão do momento angular:
Podemos fatorar a massa
fora do produto vetorial:
Passo 5
Vamos aplicar a identidade do produto vetorial que diz:
Aplicando isso a
, temos:
Passo 6
Sabendo que
e definindo
como o vetor unitário na direção de
, podemos reescrever a expressão:
Dividindo ambos os termos por
, obtemos:
Passo 7
Agora, vamos considerar o caso especial onde
. Isso significa que
é perpendicular a
. Nesse caso, o termo
se anula, pois
. Portanto, a expressão para
simplifica para:
Aqui, identificamos o momento de inércia
como
, resultando na famosa relação:
Resposta
Demonstramos que o momento angular orbital é dado por
e, no caso em que
, a relação simplifica-se para
, onde
.
Exercícios relacionados
Ache as componentes coordenadas esféricas da velocidade e da aceleração de uma partícula em movimento:
Sugestão:
Nota: Usando as técnicas lagrangianas da Seção 17.3, podemos obter esses resultados de um modo mais elegante. O ponto em
significa derivada em relação ao tempo,
. Newton é que deu origem a essa notação.
O alto falante de um aparelho de som emite 4 W de potência na frequência de
. Admitindo-se que o som se distribui uniformemente em todas as direções, determine num ponto situado a
do alto falante.
(B) A amplitude da variação de pressão.
(B) A amplitude da variação de pressão.
Os capacitores estão inicialmente descarregados. As capacitâncias são
e
e a diferença de potencial da bateria é
. Determine:
A energia total armazenada pelos capacitores.
A energia total armazenada pelos capacitores.
Definido o operador angular da mecânica quântica com
, mostre que: