O momento angular orbital L de uma partícula é dado por L=r times p=m r times v, em que p é o momento linear. Com as velocidades linear e angular relacionadas por v=omega times r, mostre que
L=m r^2[omega-r(r cdot omega)]
Aqui, r é um vetor unitário na direção r. Para r cdot omega=0 isso se reduz a L=I omega, com o momento de inércia I dado por m r^2. Na Seção 3.5 esse resultado é generalizado para formar um tensor de inércia.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que demonstrar uma relação para o momento angular orbital L de uma partícula, utilizando as definições fornecidas. O conteúdo envolvido aqui é de mecânica clássica, especificamente sobre momento angular e produto vetorial. Para resolver, vamos precisar entender as definições de momento angular, momento linear, e como aplicar o produto vetorial entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição do momento angular orbital:
L = r times p
onde r é o vetor posição e p é o momento linear da partícula. O momento linear é dado por:
p = m v
com m sendo a massa da partícula e v sua velocidade.

Passo 3

Sabemos também que a velocidade linear v está relacionada à velocidade angular omega pela expressão:
v = omega times r
Vamos substituir essa expressão na definição do momento linear:
p = m (omega times r)

Passo 4

Agora, substituímos p na expressão do momento angular:
L = r times (m omega times r)
Podemos fatorar a massa m fora do produto vetorial:
L = m (r times (omega times r))

Passo 5

Vamos aplicar a identidade do produto vetorial que diz:
a times (b times c) = b (a cdot c) - c (a cdot b)
Aplicando isso a r times (omega times r), temos:
r times (omega times r) = omega (r cdot r) - r (r cdot omega)

Passo 6

Sabendo que r cdot r = r^2 e definindo r = rr como o vetor unitário na direção de r, podemos reescrever a expressão:
L = m [ omega r^2 - r (r cdot omega) ]
Dividindo ambos os termos por r^2, obtemos:
L = m r^2 [ omega - r (r cdot omega) ]

Passo 7

Agora, vamos considerar o caso especial onde r cdot omega = 0. Isso significa que omega é perpendicular a r. Nesse caso, o termo r (r cdot omega) se anula, pois r cdot omega = 0. Portanto, a expressão para L simplifica para:
L = m r^2 omega
Aqui, identificamos o momento de inércia I como I = m r^2, resultando na famosa relação:
L = I omega

Resposta

Demonstramos que o momento angular orbital é dado por
L = m r^2 [ omega - r (r cdot omega) ]
e, no caso em que r cdot omega = 0, a relação simplifica-se para L = I omega, onde I = m r^2.

Exercícios relacionados