O momento angular orbital de uma partícula é dado por , em que é o momento linear. Com as velocidades linear e angular relacionadas por , mostre que
Aqui, é um vetor unitário na direção . Para isso se reduz a , com o momento de inércia dado por . Na Seção 3.5 esse resultado é generalizado para formar um tensor de inércia.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que demonstrar uma relação para o momento angular orbital de uma partícula, utilizando as definições fornecidas. O conteúdo envolvido aqui é de mecânica clássica, especificamente sobre momento angular e produto vetorial. Para resolver, vamos precisar entender as definições de momento angular, momento linear, e como aplicar o produto vetorial entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição do momento angular orbital:
onde é o vetor posição e é o momento linear da partícula. O momento linear é dado por:
com sendo a massa da partícula e sua velocidade.

Passo 3

Sabemos também que a velocidade linear está relacionada à velocidade angular pela expressão:
Vamos substituir essa expressão na definição do momento linear:

Passo 4

Agora, substituímos na expressão do momento angular:
Podemos fatorar a massa fora do produto vetorial:

Passo 5

Vamos aplicar a identidade do produto vetorial que diz:
Aplicando isso a , temos:

Passo 6

Sabendo que e definindo como o vetor unitário na direção de , podemos reescrever a expressão:
Dividindo ambos os termos por , obtemos:

Passo 7

Agora, vamos considerar o caso especial onde . Isso significa que é perpendicular a . Nesse caso, o termo se anula, pois . Portanto, a expressão para simplifica para:
Aqui, identificamos o momento de inércia como , resultando na famosa relação:

Resposta

Demonstramos que o momento angular orbital é dado por
e, no caso em que , a relação simplifica-se para , onde .

Exercícios relacionados

Ache as componentes coordenadas esféricas da velocidade e da aceleração de uma partícula em movimento:
Sugestão:
Nota: Usando as técnicas lagrangianas da Seção 17.3, podemos obter esses resultados de um modo mais elegante. O ponto em significa derivada em relação ao tempo, . Newton é que deu origem a essa notação.
O alto falante de um aparelho de som emite 4 W de potência na frequência de . Admitindo-se que o som se distribui uniformemente em todas as direções, determine num ponto situado a do alto falante.
(B) A amplitude da variação de pressão.
Os capacitores estão inicialmente descarregados. As capacitâncias são e e a diferença de potencial da bateria é . Determine:
A energia total armazenada pelos capacitores.
Definido o operador angular da mecânica quântica com , mostre que: