O momento angular orbital
de uma partícula é dado por
, em que
é o momento linear. Com as velocidades linear e angular relacionadas por
, mostre que
Aqui,
é um vetor unitário na direção
. Para
isso se reduz a
, com o momento de inércia
dado por
. Na Seção 3.5 esse resultado é generalizado para formar um tensor de inércia.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que demonstrar uma relação para o momento angular orbital
de uma partícula, utilizando as definições fornecidas. O conteúdo envolvido aqui é de mecânica clássica, especificamente sobre momento angular e produto vetorial. Para resolver, vamos precisar entender as definições de momento angular, momento linear, e como aplicar o produto vetorial entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição do momento angular orbital:
onde
é o vetor posição e
é o momento linear da partícula. O momento linear é dado por:
com
sendo a massa da partícula e
sua velocidade.
Passo 3
Sabemos também que a velocidade linear
está relacionada à velocidade angular
pela expressão:
Vamos substituir essa expressão na definição do momento linear:
Passo 4
Agora, substituímos
na expressão do momento angular:
Podemos fatorar a massa
fora do produto vetorial:
Passo 5
Vamos aplicar a identidade do produto vetorial que diz:
Aplicando isso a
, temos:
Passo 6
Sabendo que
e definindo
como o vetor unitário na direção de
, podemos reescrever a expressão:
Dividindo ambos os termos por
, obtemos:
Passo 7
Agora, vamos considerar o caso especial onde
. Isso significa que
é perpendicular a
. Nesse caso, o termo
se anula, pois
. Portanto, a expressão para
simplifica para:
Aqui, identificamos o momento de inércia
como
, resultando na famosa relação:
Resposta
Demonstramos que o momento angular orbital é dado por
e, no caso em que
, a relação simplifica-se para
, onde
.