Ache o comprimento de arco da ciclóide dada por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o comprimento do arco de uma ciclóide definida pelas equações paramétricas:
Vamos usar o conceito de cálculo de comprimento de arco para curvas paramétricas, que é super útil para encontrar o comprimento de trajetórias definidas por equações como essas.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada por
e
:
Aqui,
e
são os valores de
que definem o intervalo sobre o qual queremos calcular o comprimento.
Passo 3
Vamos identificar
e
da nossa ciclóide:
Precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Substituímos as derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração.
Passo 5
Expandindo a expressão dentro da raiz:
Sabemos que , então:
Portanto, a expressão fica:
Passo 6
Usamos a identidade trigonométrica :
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos determinar os limites de integração. Para uma ciclóide completa,
varia de
a
. Portanto:
Passo 8
Integrando:
Avaliação dos limites:
Resposta
O comprimento do arco da ciclóide é igual a 8 unidades.