Ache o comprimento de arco da ciclóide dada por:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o comprimento do arco de uma ciclóide definida pelas equações paramétricas:
Vamos usar o conceito de cálculo de comprimento de arco para curvas paramétricas, que é super útil para encontrar o comprimento de trajetórias definidas por equações como essas.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada por e :
Aqui, e são os valores de que definem o intervalo sobre o qual queremos calcular o comprimento.

Passo 3

Vamos identificar e da nossa ciclóide:
Precisamos encontrar as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Substituímos as derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração.

Passo 5

Expandindo a expressão dentro da raiz:
Sabemos que , então:
Portanto, a expressão fica:

Passo 6

Usamos a identidade trigonométrica :
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos determinar os limites de integração. Para uma ciclóide completa, varia de a . Portanto:

Passo 8

Integrando:
Avaliação dos limites:

Resposta

O comprimento do arco da ciclóide é igual a 8 unidades.

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