Calcule o comprimento do gráfico da função dada por
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o comprimento do gráfico da função
no intervalo de
. Isso envolve um conceito de cálculo chamado comprimento de arco. Para resolver, vamos precisar usar derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de
. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do comprimento do arco, que é:
Aqui,
e
. Então, substituindo
:
Passo 4
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição trigonométrica. Vamos deixar a integral pronta para ser calculada:
A antiderivada de
é:
Avaliaremos isso de
a
:
Passo 5
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Então, o comprimento do arco é:
Resposta
O comprimento do gráfico da função
no intervalo de
é: