Calcule o comprimento do gráfico da função dada por f(x) = x^2 / 2, com 0 <= x <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o comprimento do gráfico da função no intervalo de . Isso envolve um conceito de cálculo chamado comprimento de arco. Para resolver, vamos precisar usar derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de . A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula do comprimento do arco, que é:
Aqui, e . Então, substituindo :

Passo 4

Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição trigonométrica. Vamos deixar a integral pronta para ser calculada:
A antiderivada de é:
Avaliaremos isso de a :

Passo 5

Calculando nos limites:
Para :
Para :
Então, o comprimento do arco é:

Resposta

O comprimento do gráfico da função no intervalo de é:

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