Ache o volume da elipsóide gerada pela rotação da elipse em torno do eixo .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Precisamos encontrar o volume da elipsóide que é formada quando giramos a elipse em torno do eixo . Para resolver isso, vamos utilizar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo usada para determinar volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da elipse de forma a expressar em função de . A equação dada é:
Isolando , temos:
Multiplicando ambos os lados por :
Então, pode ser expresso como:
Passo 3
O método dos discos nos diz que o volume de um sólido de rotação obtido girando uma curva ao redor do eixo é dado por:
No nosso caso, , e precisamos determinar os limites de integração e .
Passo 4
A elipse está definida para valores de que satisfazem a equação . Para encontrar os limites de , consideramos onde :
Portanto, os limites de integração são de a .
Passo 5
Substituindo na fórmula do volume, temos:
Simplificando dentro da integral:
Passo 6
Podemos factorizar o e simplificar a integral:
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
Passo 7
Calculando cada integral separadamente:
Primeira integral:
Segunda integral:
Passo 8
Substituindo os resultados das integrais na expressão do volume: