Ache o volume da elipsóide gerada pela rotação da elipse em torno do eixo .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Precisamos encontrar o volume da elipsóide que é formada quando giramos a elipse em torno do eixo . Para resolver isso, vamos utilizar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo usada para determinar volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da elipse de forma a expressar em função de . A equação dada é:
Isolando , temos:
Multiplicando ambos os lados por :
Então, pode ser expresso como:

Passo 3

O método dos discos nos diz que o volume de um sólido de rotação obtido girando uma curva ao redor do eixo é dado por:
No nosso caso, , e precisamos determinar os limites de integração e .

Passo 4

A elipse está definida para valores de que satisfazem a equação . Para encontrar os limites de , consideramos onde :
Portanto, os limites de integração são de a .

Passo 5

Substituindo na fórmula do volume, temos:
Simplificando dentro da integral:

Passo 6

Podemos factorizar o e simplificar a integral:
Essa integral pode ser dividida em duas partes:

Passo 7

Calculando cada integral separadamente:
  1. Primeira integral:
  1. Segunda integral:

Passo 8

Substituindo os resultados das integrais na expressão do volume:
Simplificando:

Resposta

O volume da elipsóide é:

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