Ache o volume da elipsóide gerada pela rotação da elipse
em torno do eixo
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Precisamos encontrar o volume da elipsóide que é formada quando giramos a elipse
em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos utilizar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo usada para determinar volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da elipse de forma a expressar
em função de
. A equação dada é:
Isolando
, temos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Então,
pode ser expresso como:
Passo 3
O método dos discos nos diz que o volume
de um sólido de rotação obtido girando uma curva
ao redor do eixo
é dado por:
No nosso caso,
, e precisamos determinar os limites de integração
e
.
Passo 4
A elipse está definida para valores de
que satisfazem a equação
. Para encontrar os limites de
, consideramos onde
:
Portanto, os limites de integração são de
a
.
Passo 5
Substituindo
na fórmula do volume, temos:
Simplificando dentro da integral:
Passo 6
Podemos factorizar o
e simplificar a integral:
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
Passo 7
Calculando cada integral separadamente:
- Primeira integral:
- Segunda integral:
Passo 8
Substituindo os resultados das integrais na expressão do volume:
Simplificando:
Resposta
O volume da elipsóide é: