( 2,0 pontos) Sejam as superficies e , cujas equaçöes sao dadas por e , respectivamente. Utilizando coordenadas esféricas, calcule o volume da região limitada superiormente por e inferiormente por

Passo 1

Vamos calcular o volume da região que está acima da superfície e abaixo da superfície . As equações das superfícies são e . Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para lidar com superfícies esféricas como essas. Precisamos entender como converter as equações para coordenadas esféricas e então integrar para encontrar o volume desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três valores: (distância do ponto à origem), (ângulo no plano xy a partir do eixo x) e (ângulo a partir do eixo z). As relações entre coordenadas cartesianas e esféricas são:

Passo 3

Vamos transformar as equações das superfícies para coordenadas esféricas.
Para :
Para :
Substituindo :
Agora, sabemos que varia de até , e precisamos determinar os limites para .
Quando deve ser menor ou igual a :
Então, varia de a , já que além de , se torna negativa, o que não faz sentido para o nosso caso.

Passo 4

O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Agora, configuramos a integral tripla para o volume :
Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:
Integramos em relação a :
Fazendo substituição , :
Avaliado de a :
Finalmente, integramos em relação a :

Resposta

O volume da região limitada superiormente por e inferiormente por é unidades cúbicas.

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