Ache o comprimento de arco da curva com equações paramétricas e , de a pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento de arco de uma curva que está definida por equações paramétricas no espaço tridimensional. As equações são:
E queremos calcular o comprimento dessa curva para variando de 0 a 1. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos ajuda a medir a “distância” percorrida ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada por :
Aqui, , e são as derivadas das funções , e em relação a . Vamos calcular essas derivadas no próximo passo.

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas necessárias:
  1. Derivada de :
Usando a regra do produto:
  1. Derivada de :
Também pela regra do produto:
  1. Derivada de :
Aqui é mais simples:

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada.

Passo 5

Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da raiz:
Somando essas duas expressões e adicionando :
Observamos que os termos e se cancelam. Além disso, agrupando os termos semelhantes:
Sabemos que , então:
Portanto, a expressão dentro da raiz simplifica para .

Passo 6

Agora, a fórmula do comprimento de arco fica mais simples:
Para resolver essa integral, vamos usar a substituição:
Seja , então .
Substituindo na integral:
Simplificando e resolvendo a integral, obtemos:
Calculando os valores:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

O comprimento de arco da curva é aproximadamente 3,673 unidades.

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Usando substituições trigonométricas convenientes, calcule as seguintes integrais:
Use a integral dupla para determinar a área contida em um laço da rosácea de quatro pétalas . Esboce a região de integração. (2,0 pontos)
Calcule onde .