Ache o comprimento de arco da curva com equações paramétricas
e
, de
a
pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento de arco de uma curva que está definida por equações paramétricas no espaço tridimensional. As equações são:
E queremos calcular o comprimento dessa curva para
variando de 0 a 1. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em cálculo, que nos ajuda a medir a “distância” percorrida ao longo de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada por
:
Aqui,
,
e
são as derivadas das funções
,
e
em relação a
. Vamos calcular essas derivadas no próximo passo.
Passo 3
Vamos calcular cada uma das derivadas necessárias:
- Derivada de
:
Usando a regra do produto:
- Derivada de
:
Também pela regra do produto:
- Derivada de
:
Aqui é mais simples:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz quadrada.
Passo 5
Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da raiz:
Somando essas duas expressões e adicionando
:
Observamos que os termos
e
se cancelam. Além disso, agrupando os termos semelhantes:
Sabemos que
, então:
Portanto, a expressão dentro da raiz simplifica para
.
Passo 6
Agora, a fórmula do comprimento de arco fica mais simples:
Para resolver essa integral, vamos usar a substituição:
Seja
, então
.
Substituindo na integral:
Simplificando e resolvendo a integral, obtemos:
Calculando os valores:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
O comprimento de arco da curva é aproximadamente 3,673 unidades.
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. Esboce a região de integração. (2,0 pontos)
Calcule
onde
.