Calcule
onde
.
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a derivada de
no ponto
, onde
. Vamos usar cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e o Teorema Fundamental do Cálculo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada de
. Como
, usamos a Regra da Cadeia, que diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna. Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar
. Sabemos que
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de uma integral com limite variável é simplesmente a função integranda avaliada no limite. Portanto:
Passo 4
Substituindo
na expressão para
, temos:
Passo 5
Agora, precisamos avaliar
. Primeiro, vamos achar
:
Porque a integral de um ponto para ele mesmo é zero. Então:
Resposta
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Ache o comprimento de arco da curva com equações paramétricas
e
, de
a
pontos)
Usando substituições trigonométricas convenientes, calcule as seguintes integrais:
Calcule: