Calcule onde .

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a derivada de no ponto , onde . Vamos usar cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e o Teorema Fundamental do Cálculo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada de . Como , usamos a Regra da Cadeia, que diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna. Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar . Sabemos que . Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de uma integral com limite variável é simplesmente a função integranda avaliada no limite. Portanto:

Passo 4

Substituindo na expressão para , temos:

Passo 5

Agora, precisamos avaliar . Primeiro, vamos achar :
Porque a integral de um ponto para ele mesmo é zero. Então:

Resposta

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Ache o comprimento de arco da curva com equações paramétricas e , de a pontos)
Usando substituições trigonométricas convenientes, calcule as seguintes integrais:
Calcule: