Calcule f^prime(2) onde f(x)=e^g(x) com g(x)=integral2^x tt^2+1 d t.
25

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a derivada de no ponto , onde . Vamos usar cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e o Teorema Fundamental do Cálculo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada de f'(x) = e^g(x) cdot g'(x) . Como , usamos a Regra da Cadeia, que diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna. Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar g'(x) = xx^2 + 1 . Sabemos que . Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de uma integral com limite variável é simplesmente a função integranda avaliada no limite. Portanto:

Passo 4

Substituindo f'(x) = e^g(x) cdot xx^2 + 1 na expressão para , temos:

Passo 5

Agora, precisamos avaliar g(2) = integral2^2 tt^2+1 , dt = 0 . Primeiro, vamos achar f'(2) = e^0 cdot 22^2 + 1 = 1 cdot 25 = 25 :
Porque a integral de um ponto para ele mesmo é zero. Então:

Resposta

Exercícios relacionados