Use a integral dupla para determinar a área contida em um laço da rosácea de quatro pétalas
. Esboce a região de integração. (2,0 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar uma integral dupla para encontrar a área de um laço da rosácea de quatro pétalas dada pela equação
. Isso envolve matéria de cálculo integral, especificamente integração em coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar entender como configurar a integral dupla em coordenadas polares e determinar os limites de integração corretos para uma pétala dessa curva.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a curva
. Essa é uma equação polar que descreve uma rosácea de quatro pétalas porque o coeficiente de
dentro do cosseno é 2, o que gera quatro pétalas quando
varia de
a
.
Passo 3
Como queremos a área de um laço (uma pétala), precisamos determinar os limites de
que correspondem a uma única pétala. Observando a equação
, vemos que uma pétala ocorre quando
varia de
a
, ou seja,
varia de
a
.
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral dupla para a área em coordenadas polares. A fórmula para a área em coordenadas polares é:
Substituindo
e os limites de
de
a
, temos:
Passo 5
Vamos simplificar a integral usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Aplicando isso na nossa integral:
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Resposta
A área de um laço da rosácea
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Usando substituições trigonométricas convenientes, calcule as seguintes integrais:
Calcule as integrais trigonométricas abaixo:
Usando substituições trigonométricas convenientes, calcule as seguintes integrais:
Ache o comprimento de arco da curva com equações paramétricas
e
, de
a
pontos)