Use a integral dupla para determinar a área contida em um laço da rosácea de quatro pétalas . Esboce a região de integração. (2,0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar uma integral dupla para encontrar a área de um laço da rosácea de quatro pétalas dada pela equação . Isso envolve matéria de cálculo integral, especificamente integração em coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar entender como configurar a integral dupla em coordenadas polares e determinar os limites de integração corretos para uma pétala dessa curva.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a curva . Essa é uma equação polar que descreve uma rosácea de quatro pétalas porque o coeficiente de dentro do cosseno é 2, o que gera quatro pétalas quando varia de a .

Passo 3

Como queremos a área de um laço (uma pétala), precisamos determinar os limites de que correspondem a uma única pétala. Observando a equação , vemos que uma pétala ocorre quando varia de a , ou seja, varia de a .

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral dupla para a área em coordenadas polares. A fórmula para a área em coordenadas polares é:
Substituindo e os limites de de a , temos:

Passo 5

Vamos simplificar a integral usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Aplicando isso na nossa integral:
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:

Resposta

A área de um laço da rosácea é unidades de área.

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Usando substituições trigonométricas convenientes, calcule as seguintes integrais:
Calcule as integrais trigonométricas abaixo:
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Ache o comprimento de arco da curva com equações paramétricas e , de a pontos)