Usando substituições trigonométricas convenientes, calcule as seguintes integrais: integral 1(4 x^2-4)^3 / 2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve o uso de substituições trigonométricas, que é um método útil para resolver integrais que têm expressões quadráticas no denominador. Vamos precisar lembrar algumas identidades trigonométricas básicas e como fazer a substituição correta para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que 4x^2 - 4 = 4(x^2 - 1) pode ser fatorado:
integral 1(4(x^2 - 1))^3/2 dx
Então, a integral fica:
Isso nos ajuda a ver mais claramente a forma da expressão que vamos trabalhar.

Passo 3

Agora, vamos simplificar ainda mais a expressão. Tiramos o 4 da raiz:
(4(x^2 - 1))^3/2 = 4^3/2 cdot (x^2 - 1)^3/2 = 8 cdot (x^2 - 1)^3/2
Então, a integral fica:
integral 18 cdot (x^2 - 1)^3/2 dx = 18 integral 1(x^2 - 1)^3/2 dx

Passo 4

Para resolver a integral , vamos usar a substituição trigonométrica apropriada para expressões da forma . Nesse caso, escolhemos , já que , o que simplifica a expressão.

Passo 5

Fazendo a substituição dx = sec theta tan theta dtheta , derivamos:
integral 1(sec^2 theta - 1)^3/2 cdot sec theta tan theta dtheta = integral sec theta tan thetatan^3 theta dtheta = integral sec thetatan^2 theta dtheta
E substituindo na integral:
integral sec thetasec^2 theta - 1 dtheta = integral sec thetatan^2 theta dtheta
Sabemos que , então:

Passo 6

Simplificando a integral:
integral sec thetatan^2 theta dtheta = integral sec thetasec^2 theta - 1 dtheta = integral sec thetatan^2 theta dtheta
Vamos utilizar a identidade para continuar a simplificação.

Passo 7

Observamos que a integral simplifica para:
integral cos thetasin^2 theta dtheta = integral cot theta csc theta dtheta
Sabemos que a integral de é .

Passo 8

Então, temos:
-csc theta + C
Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que , podemos desenhar um triângulo retângulo para expressar em termos de .

Passo 9

No triângulo retângulo, se csc theta = HipotenusaOposto = xraizx^2 - 1 , assumimos que a adjacente é 1, então a hipotenusa é . O cateto oposto será .
Então,

Passo 10

Substituindo de volta na expressão:
-csc theta + C = -xraizx^2 - 1 + C
Lembrando que tínhamos fatorado a integral original por , então a resposta final é:

Resposta

-18 cdot xraizx^2 - 1 + C

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