Usando substituições trigonométricas convenientes, calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve o uso de substituições trigonométricas, que é um método útil para resolver integrais que têm expressões quadráticas no denominador. Vamos precisar lembrar algumas identidades trigonométricas básicas e como fazer a substituição correta para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que pode ser fatorado:
Então, a integral fica:
Isso nos ajuda a ver mais claramente a forma da expressão que vamos trabalhar.

Passo 3

Agora, vamos simplificar ainda mais a expressão. Tiramos o 4 da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 4

Para resolver a integral , vamos usar a substituição trigonométrica apropriada para expressões da forma . Nesse caso, escolhemos , já que , o que simplifica a expressão.

Passo 5

Fazendo a substituição , derivamos:
E substituindo na integral:
Sabemos que , então:

Passo 6

Simplificando a integral:
Vamos utilizar a identidade para continuar a simplificação.

Passo 7

Observamos que a integral simplifica para:
Sabemos que a integral de é .

Passo 8

Então, temos:
Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que , podemos desenhar um triângulo retângulo para expressar em termos de .

Passo 9

No triângulo retângulo, se , assumimos que a adjacente é 1, então a hipotenusa é . O cateto oposto será .
Então,

Passo 10

Substituindo de volta na expressão:
Lembrando que tínhamos fatorado a integral original por , então a resposta final é:

Resposta

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