Usando substituições trigonométricas convenientes, calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve o uso de substituições trigonométricas, que é um método útil para resolver integrais que têm expressões quadráticas no denominador. Vamos precisar lembrar algumas identidades trigonométricas básicas e como fazer a substituição correta para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Observamos que
pode ser fatorado:
Então, a integral fica:
Isso nos ajuda a ver mais claramente a forma da expressão que vamos trabalhar.
Passo 3
Agora, vamos simplificar ainda mais a expressão. Tiramos o 4 da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 4
Para resolver a integral
, vamos usar a substituição trigonométrica apropriada para expressões da forma
. Nesse caso, escolhemos
, já que
, o que simplifica a expressão.
Passo 5
Fazendo a substituição
, derivamos:
E substituindo na integral:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Simplificando a integral:
Vamos utilizar a identidade
para continuar a simplificação.
Passo 7
Observamos que a integral simplifica para:
Sabemos que a integral de
é
.
Passo 8
Então, temos:
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, podemos desenhar um triângulo retângulo para expressar
em termos de
.
Passo 9
No triângulo retângulo, se
, assumimos que a adjacente é 1, então a hipotenusa é
. O cateto oposto será
.
Então,
Passo 10
Substituindo de volta na expressão:
Lembrando que tínhamos fatorado a integral original por
, então a resposta final é:
Resposta
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e
, de
a
pontos)
Calcule
onde
.