Ache o comprimento do arco dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para achar o comprimento do arco de uma curva definida por funções paramétricas. Aqui, a gente vai usar um pouco de cálculo, especificamente a fórmula para comprimento de arco de funções paramétricas. Vamos precisar calcular as derivadas de
e
, depois usar essas derivadas na fórmula para encontrar o comprimento total do arco no intervalo de
de 0 a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as derivadas de
e
em relação a
.
Dada:
Vamos calcular
e
.
Passo 3
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Agora que temos as derivadas, vamos usar a fórmula do comprimento do arco para funções paramétricas:
Neste caso,
e
.
Passo 5
Substituindo as derivadas na fórmula:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos fatorar o 2 fora da raiz para simplificar:
A integral agora é:
Passo 7
A integral
é uma integral padrão que resulta em:
Aplicando os limites de 0 a 1:
Passo 8
Calculando em
:
Calculando em
:
Então, a diferença é:
Multiplicando pela
que está na frente da integral:
Resposta
O comprimento do arco é:
Então, aproximadamente 1.625 unidades.
Exercícios relacionados
Ache
e
.
Ache o limite indicado, se ele existir.
e)
e)
Ache o comprimento do arco dado.
Ache as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arco s como parâmetro, onde s é medido a partir do ponto onde
.