Ache o comprimento do arco dado.
r = sen²(theta/2), 0 <= theta <= pi/2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o comprimento do arco da função polar no intervalo . Para isso, vamos usar a fórmula de comprimento de arco em coordenadas polares, que envolve cálculo integral. Vamos precisar calcular a derivada de em relação a e aplicar a fórmula adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de um arco em coordenadas polares. A fórmula é:
Nessa fórmula, é o comprimento do arco, é a função que descreve a curva, e é a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a . Dada a função:
Usando a regra da cadeia, temos:

Passo 4

Agora, substituímos e na fórmula do comprimento do arco:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a expressão fica:

Passo 6

Fatorando dentro da raiz:
Lembrando que , temos:

Passo 7

Agora, a integral para o comprimento do arco simplifica para:

Passo 8

Vamos resolver a integral:
Fazendo uma substituição: , então ou .
Substituindo na integral:
Agora, aplicando os limites de integração de a :
Sabendo que e :

Resposta

O comprimento do arco é unidades.

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