Ache o comprimento do arco dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o comprimento do arco da função polar
no intervalo
. Para isso, vamos usar a fórmula de comprimento de arco em coordenadas polares, que envolve cálculo integral. Vamos precisar calcular a derivada de
em relação a
e aplicar a fórmula adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de um arco em coordenadas polares. A fórmula é:
Nessa fórmula,
é o comprimento do arco,
é a função que descreve a curva, e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. Dada a função:
Usando a regra da cadeia, temos:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na fórmula do comprimento do arco:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Fatorando
dentro da raiz:
Lembrando que
, temos:
Passo 7
Agora, a integral para o comprimento do arco simplifica para:
Passo 8
Vamos resolver a integral:
Fazendo uma substituição:
, então
ou
.
Substituindo na integral:
Agora, aplicando os limites de integração de
a
:
Sabendo que
e
:
Resposta
O comprimento do arco é
unidades.
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e
.
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.
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c)
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