Ache as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arco s como parâmetro, onde s é medido a partir do ponto onde t = 0.
x = a cos(t), y = a sen(t)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as equações paramétricas da curva usando o comprimento de arco como parâmetro, onde começa a contar a partir de . Aqui, estamos lidando com cálculo de curvas paramétricas e comprimento de arco. Para isso, vamos precisar entender como relacionar o parâmetro original com o comprimento de arco .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as equações paramétricas que nos foram dadas:
Essas são as equações paramétricas de um círculo de raio com centro na origem.

Passo 3

O próximo passo é encontrar uma relação entre e . Para isso, precisamos calcular o comprimento de arco em termos de . A fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas é:
Vamos calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Portanto, temos a relação:

Passo 5

Agora que temos em termos de , podemos substituir nas equações originais para obter as equações paramétricas em função de :

Resposta

As equações paramétricas da curva em termos do comprimento de arco são:

Exercícios relacionados

Ache o comprimento do arco dado.
r = sen²(theta/2), 0 <= theta <= pi/2
Ache o comprimento do arco dado.
a) x = t^2/2 + t, y = t^2/2 - t, 0 <= t <= 1
Ache a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado.
c) R(t) = 2e^t * i + 2e^(-t) * j, t = 0
Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo a equação vetorial dada. Ache os vetores V(t), A(t) e os escalares A_T(t) e AN(t).
c) R(t) = (cos(t) + t sen(t)) i + (sen(t) - t cos(t)) j, t ≥ 0