Ache as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arco s como parâmetro, onde s é medido a partir do ponto onde t = 0.
x = a cos(t), y = a sen(t)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as equações paramétricas da curva usando o comprimento de arco como parâmetro, onde começa a contar a partir de . Aqui, estamos lidando com cálculo de curvas paramétricas e comprimento de arco. Para isso, vamos precisar entender como relacionar o parâmetro original com o comprimento de arco .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as equações paramétricas que nos foram dadas:
Essas são as equações paramétricas de um círculo de raio com centro na origem.

Passo 3

O próximo passo é encontrar uma relação entre e . Para isso, precisamos calcular o comprimento de arco em termos de . A fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas é:
Vamos calcular as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Portanto, temos a relação:

Passo 5

Agora que temos em termos de , podemos substituir nas equações originais para obter as equações paramétricas em função de :

Resposta

As equações paramétricas da curva em termos do comprimento de arco são:

Exercícios relacionados