Ache as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arco s como parâmetro, onde s é medido a partir do ponto onde
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as equações paramétricas da curva usando o comprimento de arco
como parâmetro, onde
começa a contar a partir de
. Aqui, estamos lidando com cálculo de curvas paramétricas e comprimento de arco. Para isso, vamos precisar entender como relacionar o parâmetro original
com o comprimento de arco
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as equações paramétricas que nos foram dadas:
Essas são as equações paramétricas de um círculo de raio
com centro na origem.
Passo 3
O próximo passo é encontrar uma relação entre
e
. Para isso, precisamos calcular o comprimento de arco
em termos de
. A fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas é:
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Portanto, temos a relação:
Passo 5
Agora que temos
em termos de
, podemos substituir
nas equações originais para obter as equações paramétricas em função de
:
Resposta
As equações paramétricas da curva em termos do comprimento de arco
são:
Exercícios relacionados
Ache o comprimento do arco dado.
Ache o comprimento do arco dado.
Ache a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado.
c)
c)
Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo a equação vetorial dada. Ache os vetores
e os escalares
e
.
c)
c)