Ache R'(t), R''(t) e ||R'(t)||.
R(t) = (t-1)/(t+1) * i + (t-2)/t * j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a primeira derivada , a segunda derivada e a norma da primeira derivada da função vetorial . Vamos usar conceitos de cálculo de derivadas de funções vetoriais e cálculo de normas de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . Para isso, derivamos cada componente da função em relação a .
Para a componente :
Vamos usar a regra do quociente: , onde e .
Derivando e :
Aplicando a regra do quociente:
Para a componente :
Novamente, usando a regra do quociente com e .
Derivando e :
Aplicando a regra do quociente:
Então, a primeira derivada é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Vamos derivar novamente cada componente de .
Para a componente :
Podemos reescrever como e usar a regra do poder:
Para a componente :
Reescrevemos como e aplicamos a regra do poder:
Então, a segunda derivada é:

Passo 4

Por fim, vamos calcular a norma da primeira derivada . A norma de um vetor é dada por:
Aplicando isso a :

Resposta

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e) R(t)=e^t+1 i+|t+1| j, lim t -1 R(t)
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