Ache
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a primeira derivada
, a segunda derivada
e a norma da primeira derivada
da função vetorial
. Vamos usar conceitos de cálculo de derivadas de funções vetoriais e cálculo de normas de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
. Para isso, derivamos cada componente da função
em relação a
.
Para a componente
:
Vamos usar a regra do quociente:
, onde
e
.
Derivando
e
:
Aplicando a regra do quociente:
Para a componente
:
Novamente, usando a regra do quociente com
e
.
Derivando
e
:
Aplicando a regra do quociente:
Então, a primeira derivada é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. Vamos derivar novamente cada componente de
.
Para a componente
:
Podemos reescrever como
e usar a regra do poder:
Para a componente
:
Reescrevemos como
e aplicamos a regra do poder:
Então, a segunda derivada é:
Passo 4
Por fim, vamos calcular a norma da primeira derivada
. A norma de um vetor
é dada por:
Aplicando isso a
:
Resposta
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Ache o limite indicado, se ele existir.
e)
e)
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação é dada em coordenadas esféricas.
Ache o comprimento do arco dado.
Ache o comprimento do arco dado.