Ache o comprimento do arco dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte a) do exercício. A gente precisa encontrar o comprimento do arco para as funções paramétricas dadas:
Vamos usar o conceito de comprimento de arco em parametrização. Para isso, precisamos das derivadas de
e
em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas de
e
:
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula do comprimento do arco para parametrizações:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 4
Vamos simplificar dentro da raiz quadrada:
Então, a integral fica:
Passo 5
A integral
pode ser resolvida usando a substituição trigonométrica ou fórmulas de integrais padrão. Sabemos que:
Passo 6
Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
Calculando em
:
E em
:
Passo 7
Portanto, o comprimento do arco é:
Resposta
O comprimento do arco é
.
Exercícios relacionados
Ache o limite indicado, se ele existir.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Ache as retas tangentes, horizontal e vertical, ao gráfico dado pelo par de equações paramétricas.
Ache
e
Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo as equações paramétricas dadas. Ache o vetor velocidade, o vetor aceleração, a velocidade escalar no ponto dado, o módulo do vetor aceleração no ponto dado.