Ache T(t) e N(t)
cc a) R(t)=t^2 i+e^t j & b) R(t)=sen^3 t i+cos ^3 t j c) R(t)=raiz1+t^2 i+t j & d) R(t)=(1+t) i+ln cos t j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os vetores tangente unitário e normal unitário para cada uma das funções vetoriais listadas de a) a d). Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente ao estudo de curvas e seus vetores associados. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial , normalizar para encontrar , depois derivar para achar .

Passo 2

Vamos começar pela parte a) onde R'(t) = ddt(t^2) i + ddt(e^t) j = 2t i + e^t j .
Primeiro, encontramos a derivada de |R'(t)| = raiz(2t)^2 + (e^t)^2 = raiz4t^2 + e^2t em relação a T(t) = R'(t)|R'(t)| = 2t i + e^t jraiz4t^2 + e^2t :
Agora, calculamos a magnitude de :
Com isso, o vetor tangente unitário é dado por:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor normal unitário T'(t) = ddt(2t i + e^t jraiz4t^2 + e^2t) . Para isso, derivamos N(t) = T'(t)|T'(t)| em relação a :
Essa derivada pode ser um pouco trabalhosa, mas essencialmente usamos a regra do quociente e simplificamos. Depois de calcular , normalizamos para obter :

Resposta

Para a função a) T(t) = 2t i + e^t jraiz4t^2 + e^2t :
N(t) = T'(t)|T'(t)|
Os cálculos seguem de forma semelhante para as funções b), c) e d), onde para cada , calculamos , normalizamos para encontrar , derivamos para achar e, finalmente, normalizamos para obter .

Exercícios relacionados

Ache o comprimento do arco dado.
ll a) x=t^22+t, y=t^22-t, 0 <= t <= 1 & b) x=t^3, y=3 t^2,-2 <= t <= 0 c) R(t)=3 e^2 t i-4 e^2 t j, 0 <= t <= ln 5 & d) R(t)=e^t cos t i+e^t sen t j, 0 <= t <= 1 e) r=a theta^2, 0 <= theta <= pi & f) r=sen^2 theta2, 0 <= theta <= pi2
Ache o limite indicado, se ele existir.
a) R(t)=(3 t-2) i+t^2 j, lim t 2 R(t)
b) R(t)=(t-2) i+t^2-4t-2 j, lim t 2 R(t)
c) R(t)=2 sent i+cos t j, lim t pi2 R(t)
d) R(t)=(t^2-2 t-3)t-3 i+(t^2-5 t+6)t-3 j, lim t 3 R(t)
e) R(t)=e^t+1 i+|t+1| j, lim t -1 R(t)
Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo as equações paramétricas dadas. Ache o vetor velocidade, o vetor aceleração, a velocidade escalar no ponto dado, o módulo do vetor aceleração no ponto dado.
a) x=t^2+4, y=t-2, t=3 & b) x=ln (t-2), y=t^3-1, t=3 c) x=5 cos 2 t, y=3 sen 2 t, t=pi4 & d) x=e^2 t, y=e^3 t, t=0
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação é dada em coordenadas esféricas.
ll a) rho=9 sec phi & b) rho=6 cos e c phi c) rho=6 sen phi sen theta+3 cos phi & d) rho=2 t g theta