Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo as equações paramétricas dadas. Ache o vetor velocidade, o vetor aceleração, a velocidade escalar no ponto dado, o módulo do vetor aceleração no ponto dado.
Passo 1
Então, vamos resolver a parte a) do exercício. A gente tem as equações paramétricas:
O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo vetorial, especificamente derivadas para encontrar o vetor velocidade e o vetor aceleração. Também vamos calcular a velocidade escalar e o módulo da aceleração no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade. Isso significa que precisamos derivar as equações de
e
em relação ao tempo
.
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Então, o vetor velocidade
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor aceleração. Para isso, derivamos novamente as derivadas que já encontramos.
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Então, o vetor aceleração
é:
Passo 4
Para encontrar a velocidade escalar, que é a magnitude do vetor velocidade, usamos a fórmula:
Substituindo as derivadas:
No ponto
:
Passo 5
Para encontrar o módulo do vetor aceleração, calculamos a magnitude do vetor aceleração:
Passo 6
Agora, vamos para a parte b). As equações paramétricas são:
Vamos usar novamente o cálculo vetorial para encontrar o vetor velocidade, vetor aceleração, velocidade escalar e o módulo da aceleração no ponto dado.
Passo 7
Primeiro, derivamos
e
em relação a
para obter o vetor velocidade.
Derivando
:
Derivando
:
Então, o vetor velocidade
é:
Passo 8
Agora, derivamos as derivadas para encontrar o vetor aceleração.
Derivando
:
Derivando
:
Então, o vetor aceleração
é:
Passo 9
Vamos calcular a velocidade escalar:
No ponto
:
Passo 10
Para o módulo do vetor aceleração:
No ponto
:
Passo 11
Agora, vamos para a parte c). As equações paramétricas são:
Usaremos derivadas para encontrar o vetor velocidade, vetor aceleração, velocidade escalar e o módulo da aceleração no ponto dado.
Passo 12
Primeiro, derivamos
e
em relação a
para obter o vetor velocidade.
Derivando
:
Derivando
:
Então, o vetor velocidade
é:
Passo 13
Agora, derivamos as derivadas para encontrar o vetor aceleração.
Derivando
:
Derivando
:
Então, o vetor aceleração
é:
Passo 14
Vamos calcular a velocidade escalar:
Para simplificar, usamos a identidade trigonométrica
:
No ponto
:
Passo 15
Para o módulo do vetor aceleração:
No ponto
:
Passo 16
Finalmente, vamos para a parte d). As equações paramétricas são:
Vamos usar derivadas para encontrar o vetor velocidade, vetor aceleração, velocidade escalar e o módulo da aceleração no ponto dado.
Passo 17
Primeiro, derivamos
e
em relação a
para obter o vetor velocidade.
Derivando
:
Derivando
:
Então, o vetor velocidade
é:
Passo 18
Agora, derivamos as derivadas para encontrar o vetor aceleração.
Derivando
:
Derivando
:
Então, o vetor aceleração
é:
Passo 19
Vamos calcular a velocidade escalar:
No ponto
:
Passo 20
Para o módulo do vetor aceleração:
No ponto
:
Resposta
- Vetor Velocidade:
- Vetor Aceleração:
- Velocidade Escalar no ponto dado:
- Módulo do Vetor Aceleração no ponto dado:
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Ache
e
Ache o comprimento do arco dado.
Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação é dada em coordenadas esféricas.
Ache
e
.