Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo as equações paramétricas dadas. Ache o vetor velocidade, o vetor aceleração, a velocidade escalar no ponto dado, o módulo do vetor aceleração no ponto dado.
a) x=t^2+4, y=t-2, t=3 & b) x=ln (t-2), y=t^3-1, t=3 c) x=5 cos 2 t, y=3 sen 2 t, t=pi4 & d) x=e^2 t, y=e^3 t, t=0

Passo 1

Então, vamos resolver a parte a) do exercício. A gente tem as equações paramétricas:
x = t^2 + 4, y = t - 2, t = 3
O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo vetorial, especificamente derivadas para encontrar o vetor velocidade e o vetor aceleração. Também vamos calcular a velocidade escalar e o módulo da aceleração no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade. Isso significa que precisamos derivar as equações de dxdt = 2t e dydt = 1 em relação ao tempo v = ( dxdt, dydt ) = (2t, 1) .
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :
Então, o vetor velocidade é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor aceleração. Para isso, derivamos novamente as derivadas que já encontramos.
Derivando d^2xdt^2 = 2 em relação a d^2ydt^2 = 0 :
a = ( d^2xdt^2, d^2ydt^2 ) = (2, 0)
Derivando em relação a :
Então, o vetor aceleração é:

Passo 4

Para encontrar a velocidade escalar, que é a magnitude do vetor velocidade, usamos a fórmula:
|v| = raiz( dxdt )^2 + ( dydt )^2
Substituindo as derivadas:
|v| = raiz(2t)^2 + (1)^2 = raiz4t^2 + 1
No ponto |v| = raiz4(3)^2 + 1 = raiz36 + 1 = raiz37 :

Passo 5

Para encontrar o módulo do vetor aceleração, calculamos a magnitude do vetor aceleração:
|a| = raiz( d^2xdt^2 )^2 + ( d^2ydt^2 )^2 = raiz2^2 + 0^2 = raiz4 = 2

Passo 6

Agora, vamos para a parte b). As equações paramétricas são:
x = ln(t - 2), y = t^3 - 1, t = 3
Vamos usar novamente o cálculo vetorial para encontrar o vetor velocidade, vetor aceleração, velocidade escalar e o módulo da aceleração no ponto dado.

Passo 7

Primeiro, derivamos dxdt = 1t - 2 e dydt = 3t^2 em relação a v = ( 1t - 2, 3t^2 ) para obter o vetor velocidade.
Derivando :
Derivando :
Então, o vetor velocidade é:

Passo 8

Agora, derivamos as derivadas para encontrar o vetor aceleração.
Derivando d^2xdt^2 = -1(t - 2)^2 :
d^2ydt^2 = 6t
Derivando a = ( -1(t - 2)^2, 6t ) :
Então, o vetor aceleração é:

Passo 9

Vamos calcular a velocidade escalar:
|v| = raiz( 1t - 2 )^2 + (3t^2)^2 = raiz1(t - 2)^2 + 9t^4
No ponto |v| = raiz1(3 - 2)^2 + 9(3)^4 = raiz1 + 9 times 81 = raiz1 + 729 = raiz730 :

Passo 10

Para o módulo do vetor aceleração:
|a| = raiz( -1(t - 2)^2 )^2 + (6t)^2 = raiz1(t - 2)^4 + 36t^2
No ponto |a| = raiz1(3 - 2)^4 + 36(3)^2 = raiz1 + 324 = raiz325 :

Passo 11

Agora, vamos para a parte c). As equações paramétricas são:
x = 5 cos(2t), y = 3 sin(2t), t = pi4
Usaremos derivadas para encontrar o vetor velocidade, vetor aceleração, velocidade escalar e o módulo da aceleração no ponto dado.

Passo 12

Primeiro, derivamos dxdt = -10 sin(2t) e dydt = 6 cos(2t) em relação a v = ( -10 sin(2t), 6 cos(2t) ) para obter o vetor velocidade.
Derivando :
Derivando :
Então, o vetor velocidade é:

Passo 13

Agora, derivamos as derivadas para encontrar o vetor aceleração.
Derivando d^2xdt^2 = -20 cos(2t) :
d^2ydt^2 = -12 sin(2t)
Derivando a = ( -20 cos(2t), -12 sin(2t) ) :
Então, o vetor aceleração é:

Passo 14

Vamos calcular a velocidade escalar:
|v| = raiz(-10 sin(2t))^2 + (6 cos(2t))^2 = raiz100 sin^2(2t) + 36 cos^2(2t)
Para simplificar, usamos a identidade trigonométrica |v| = raiz100 sin^2(2t) + 36 cos^2(2t) = raiz64 sin^2(2t) + 36 :
|v| = raiz64 sin^2(pi2) + 36 = raiz64 times 1 + 36 = raiz100 = 10
No ponto :

Passo 15

Para o módulo do vetor aceleração:
|a| = raiz(-20 cos(2t))^2 + (-12 sin(2t))^2 = raiz400 cos^2(2t) + 144 sin^2(2t)
No ponto |a| = raiz400 cos^2(pi2) + 144 sin^2(pi2) = raiz400 times 0 + 144 times 1 = raiz144 = 12 :

Passo 16

Finalmente, vamos para a parte d). As equações paramétricas são:
x = e^2t, y = e^3t, t = 0
Vamos usar derivadas para encontrar o vetor velocidade, vetor aceleração, velocidade escalar e o módulo da aceleração no ponto dado.

Passo 17

Primeiro, derivamos dxdt = 2e^2t e dydt = 3e^3t em relação a v = ( 2e^2t, 3e^3t ) para obter o vetor velocidade.
Derivando :
Derivando :
Então, o vetor velocidade é:

Passo 18

Agora, derivamos as derivadas para encontrar o vetor aceleração.
Derivando d^2xdt^2 = 4e^2t :
d^2ydt^2 = 9e^3t
Derivando a = ( 4e^2t, 9e^3t ) :
Então, o vetor aceleração é:

Passo 19

Vamos calcular a velocidade escalar:
|v| = raiz(2e^2t)^2 + (3e^3t)^2 = raiz4e^4t + 9e^6t = e^2t raiz4 + 9e^2t
No ponto |v| = e^0 raiz4 + 9e^0 = 1 times raiz4 + 9 = raiz13 :

Passo 20

Para o módulo do vetor aceleração:
|a| = raiz(4e^2t)^2 + (9e^3t)^2 = raiz16e^4t + 81e^6t = e^2t raiz16 + 81e^2t
No ponto |a| = e^0 raiz16 + 81e^0 = 1 times raiz16 + 81 = raiz97 :

Resposta

  • Vetor Velocidade:
  • Vetor Aceleração:
  • Velocidade Escalar no ponto dado:
  • Módulo do Vetor Aceleração no ponto dado:

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cc a) R(t)=t^2 i+e^t j & b) R(t)=sen^3 t i+cos ^3 t j c) R(t)=raiz1+t^2 i+t j & d) R(t)=(1+t) i+ln cos t j
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