Ache o comprimento do arco dado.
b) x = t^3, y = 3t^2, -2 <= t <= 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra achar o comprimento do arco de uma curva definida pelas funções paramétricas e no intervalo . Aqui, estamos lidando com o tema de comprimento de arco em funções paramétricas. Para resolver isso, a gente vai precisar usar a fórmula do comprimento do arco para curvas paramétricas, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o comprimento do arco de uma curva definida por funções paramétricas e entre e :
Isso significa que a gente precisa calcular as derivadas de e em relação a , elevar essas derivadas ao quadrado, somar e depois tirar a raiz quadrada desse resultado. Por último, integramos tudo isso de até .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas:

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento do arco:
Simplificando os termos dentro da raiz:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Vamos fatorar dentro da raiz para simplificar:
Como está entre -2 e 0, , então:

Passo 6

Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:
Substituindo na integral:
Calculando os limites de integração:
  • Quando ,
  • Quando ,
Então:
Como os limites estão invertidos (de 8 para 4), podemos trocar os limites e mudar o sinal:

Passo 7

Agora, vamos integrar :
Aplicando os limites de 4 a 8:

Passo 8

Vamos calcular e :
Então:

Resposta

O comprimento do arco é unidades.

Exercícios relacionados

Ache o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.
R(t) = 1/(4+t^2) * i - 4/(1-t^2) * j
Ache R'(t), R''(t) e ||R'(t)||.
R(t) = (e^t + 1) i + (e^t - 1) j
Ache T(t) e N(t).
R(t) = sen^3(t) * i + cos^3(t) * j
Ache as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arco s como parâmetro, onde s é medido a partir do ponto onde t = 0.
x = 2(cos(t) + t sen(t)), y = 2(sen(t) - t cos(t))