Ache o comprimento do arco dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra achar o comprimento do arco de uma curva definida pelas funções paramétricas
e
no intervalo
. Aqui, estamos lidando com o tema de comprimento de arco em funções paramétricas. Para resolver isso, a gente vai precisar usar a fórmula do comprimento do arco para curvas paramétricas, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o comprimento do arco de uma curva definida por funções paramétricas
e
entre
e
:
Isso significa que a gente precisa calcular as derivadas de
e
em relação a
, elevar essas derivadas ao quadrado, somar e depois tirar a raiz quadrada desse resultado. Por último, integramos tudo isso de
até
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento do arco:
Simplificando os termos dentro da raiz:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Vamos fatorar
dentro da raiz para simplificar:
Como
está entre -2 e 0,
, então:
Passo 6
Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Substituindo na integral:
Calculando os limites de integração:
- Quando
, - Quando
,
Então:
Como os limites estão invertidos (de 8 para 4), podemos trocar os limites e mudar o sinal:
Passo 7
Agora, vamos integrar
:
Aplicando os limites de 4 a 8:
Passo 8
Vamos calcular
e
:
Então:
Resposta
O comprimento do arco é
unidades.
Exercícios relacionados
Ache o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.
Ache
e
.
Ache
e
.
Ache as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arco s como parâmetro, onde s é medido a partir do ponto onde
.