Ache T(t) e N(t).
R(t) = sen^3(t) * i + cos^3(t) * j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar e para a função vetorial . Estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com vetores tangente e normal de uma curva. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de para achar o vetor tangente e depois derivar para encontrar o vetor normal .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a , que nos dará o vetor velocidade . Isso é feito derivando cada componente de :
Derivando em relação a :
Usando a regra do poder e a regra da cadeia:
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor tangente unitário . Para isso, precisamos normalizar , ou seja, dividir pelo seu módulo .
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então,

Passo 4

Agora que temos , vamos encontrar , o vetor normal unitário. Isso é feito derivando em relação a e normalizando o resultado.
Primeiro, derivamos :
Agora, calculamos o módulo de :
Então,

Resposta

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Ache o comprimento do arco dado.
b) x = t^3, y = 3t^2, -2 <= t <= 0
Ache o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.
R(t) = 1/(4+t^2) * i - 4/(1-t^2) * j
Ache as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arco s como parâmetro, onde s é medido a partir do ponto onde t = 0.
x = 2(cos(t) + t sen(t)), y = 2(sen(t) - t cos(t))
Encontre uma equação em coordenadas cilíndricas da superfície dada.
x^2 + y^2 = z^2