Ache o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para achar o vetor mais geral cuja derivada é a função dada:
Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente integração de funções vetoriais, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as componentes do vetor
. Temos duas partes:
- A componente na direção de
: - A componente na direção de
:
Para encontrar o vetor original, precisamos integrar cada uma dessas componentes em relação a
.
Passo 3
Vamos começar integrando a componente de
:
Isso é uma integral padrão que envolve a função arco-tangente.
Passo 4
Lembrando que:
No nosso caso,
, então
. Aplicando isso:
Passo 5
Agora, vamos integrar a componente de
:
Primeiro, podemos simplificar a fração:
Passo 6
A integral de
pode ser resolvida usando frações parciais:
Então:
Passo 7
Agora, juntamos as integrações das duas componentes com uma constante vetorial
:
Podemos simplificar as constantes
e
em uma única constante vetorial
.
Resposta
O vetor mais geral cuja derivada é
é:
onde
é uma constante vetorial.
Exercícios relacionados
Ache
R'(t), R''(t) e
||R'(t)|| .
Ache
R'(t), R''(t) e
||R'(t)|| .
Ache o comprimento do arco dado.
Ache
T(t) e
N(t) .