Ache o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.
R(t) = 1/(4+t^2) * i - 4/(1-t^2) * j

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para achar o vetor mais geral cuja derivada é a função dada:
Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente integração de funções vetoriais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as componentes do vetor . Temos duas partes:
  • A componente na direção de :
  • A componente na direção de :
Para encontrar o vetor original, precisamos integrar cada uma dessas componentes em relação a .

Passo 3

Vamos começar integrando a componente de :
Isso é uma integral padrão que envolve a função arco-tangente.

Passo 4

Lembrando que:
No nosso caso, , então . Aplicando isso:

Passo 5

Agora, vamos integrar a componente de :
Primeiro, podemos simplificar a fração:

Passo 6

A integral de pode ser resolvida usando frações parciais:
Então:

Passo 7

Agora, juntamos as integrações das duas componentes com uma constante vetorial :
Podemos simplificar as constantes e em uma única constante vetorial .

Resposta

O vetor mais geral cuja derivada é é:
onde é uma constante vetorial.

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Ache R'(t), R''(t) e ||R'(t)||.
R(t) = (e^t + 1) i + (e^t - 1) j
Ache R'(t), R''(t) e ||R'(t)||.
R(t)=(t^2-3) i + (2t+1) j
Ache o comprimento do arco dado.
b) x = t^3, y = 3t^2, -2 <= t <= 0
Ache T(t) e N(t).
R(t) = sen^3(t) * i + cos^3(t) * j