Ache o comprimento do arco dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o comprimento do arco da curva definida pela função vetorial
, no intervalo de
de 0 até
. Isso pertence ao conteúdo de Cálculo, especificamente ao estudo de comprimentos de arco de curvas paramétricas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento do arco para funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o comprimento do arco de uma função vetorial
. A fórmula é:
Aqui,
e
são as derivadas das componentes de
em relação a
, e
e
são os limites do intervalo dado.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas das componentes de
. Temos:
Calculando as derivadas:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento do arco:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Simplificando a raiz:
Portanto, a integral agora é:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a
:
Sabemos que
, então
, e
.
Então:
Resposta
O comprimento do arco é
unidades.
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Se
for a medida em radianos do ângulo entre
e
, ache
.
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