Ache o comprimento do arco dado.
R(t) = 3 e^(2 t) i - 4 e^(2 t) j, 0 <= t <= ln 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o comprimento do arco da curva definida pela função vetorial , no intervalo de de 0 até . Isso pertence ao conteúdo de Cálculo, especificamente ao estudo de comprimentos de arco de curvas paramétricas. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula do comprimento do arco para funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar o comprimento do arco de uma função vetorial . A fórmula é:
Aqui, e são as derivadas das componentes de em relação a , e e são os limites do intervalo dado.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas das componentes de . Temos:
Calculando as derivadas:

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento do arco:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 5

Simplificando a raiz:
Portanto, a integral agora é:

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a :
Sabemos que , então , e .
Então:

Resposta

O comprimento do arco é unidades.

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