Se
for a medida em radianos do ângulo entre
e
, ache
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente precisa encontrar a derivada do ângulo
entre duas funções vetoriais
e
. Estamos lidando com conceitos de vetores, produtos escalares e cálculo diferencial. Vamos precisar saber como calcular o ângulo entre vetores e como derivar funções que envolvem arcos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções vetoriais dadas:
Aqui,
e
são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.
Passo 3
Para encontrar o ângulo
entre
e
, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Onde:
-
é o produto escalar dos vetores. -
e são as normas (comprimentos) dos vetores.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar
:
Porque
está na direção
e
está na direção
, que são perpendiculares.
Passo 5
Agora, calculamos as normas dos vetores:
Passo 6
Substituindo o produto escalar e as normas na fórmula do cosseno:
Passo 7
Sabemos que
quando
ou
. Como estamos falando do ângulo entre dois vetores, consideramos
radianos (90 graus).
Passo 8
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Porque
é uma constante, sua derivada é zero.
Resposta
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Ache as retas tangentes, horizontal e vertical, ao gráfico dado pelo par de equações paramétricas.
Ache
e
sem eliminar o parâmetro.
Ache o comprimento do arco dado.
Ache o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.