Se for a medida em radianos do ângulo entre e , ache .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente precisa encontrar a derivada do ângulo entre duas funções vetoriais e . Estamos lidando com conceitos de vetores, produtos escalares e cálculo diferencial. Vamos precisar saber como calcular o ângulo entre vetores e como derivar funções que envolvem arcos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções vetoriais dadas:
Aqui, e são os vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.

Passo 3

Para encontrar o ângulo entre e , usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são as normas (comprimentos) dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar :
Porque está na direção e está na direção , que são perpendiculares.

Passo 5

Agora, calculamos as normas dos vetores:

Passo 6

Substituindo o produto escalar e as normas na fórmula do cosseno:

Passo 7

Sabemos que quando ou . Como estamos falando do ângulo entre dois vetores, consideramos radianos (90 graus).

Passo 8

Agora, vamos derivar em relação a :
Porque é uma constante, sua derivada é zero.

Resposta

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Ache as retas tangentes, horizontal e vertical, ao gráfico dado pelo par de equações paramétricas.
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Ache o comprimento do arco dado.
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