Ache o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o vetor mais geral cuja derivada é a função dada, que é:
Isso envolve conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente de derivadas e integrais de funções vetoriais. Vamos precisar integrar cada componente desse vetor para achar o vetor original.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a componente :
Para encontrar a função original cuja derivada é , precisamos integrar em relação a .

Passo 3

A integral de em relação a é:
Aqui, é uma constante de integração que representa qualquer constante real, já que a derivada de uma constante é zero.

Passo 4

Agora, vamos para a componente :
Precisamos integrar em relação a .

Passo 5

A integral de em relação a é:
Aqui, é outra constante de integração.

Passo 6

Agora, juntamos as duas integrais para formar o vetor original. Lembrando que adicionamos uma constante vetorial, que pode ser representada como .

Resposta

O vetor mais geral cuja derivada é é:
onde é um vetor constante.

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Ache o comprimento do arco dado.
Se for a medida em radianos do ângulo entre e , ache .
Ache a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado.
d)
Ache o vetor posição .