Ache as retas tangentes, horizontal e vertical, ao gráfico dado pelo par de equações paramétricas.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo que pede para encontrar as retas tangentes horizontais e verticais ao gráfico definido pelas equações paramétricas e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e entender como elas nos ajudam a encontrar as retas tangentes em curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as retas tangentes a uma curva paramétrica são determinadas pelas derivadas de e em relação a . A derivada de em relação a é dada por:
Essa expressão nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em cada ponto da curva.

Passo 3

Para encontrar onde a reta tangente é horizontal, precisamos que a inclinação seja zero. Isso acontece quando:
Desde que nesse ponto.

Passo 4

Vamos calcular :
Igualando a zero para encontrar os valores de :

Passo 5

Agora, vamos encontrar as coordenadas e correspondentes a :

Passo 6

A reta tangente horizontal passa pelo ponto e tem inclinação zero. Então, a equação da reta é:

Passo 7

Agora, vamos encontrar as retas tangentes verticais. Para que a reta tangente seja vertical, a inclinação deve ser indefinida, ou seja, , desde que .

Passo 8

Calculando :
Igualando a zero:

Passo 9

Encontrando as coordenadas correspondentes a :

Passo 10

A reta tangente vertical passa pelo ponto . Como é vertical, a equação da reta é:

Resposta

As retas tangentes ao gráfico das equações paramétricas e são:
  • Reta tangente horizontal:
  • Reta tangente vertical:

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