Ache as retas tangentes, horizontal e vertical, ao gráfico dado pelo par de equações paramétricas.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de cálculo que pede para encontrar as retas tangentes horizontais e verticais ao gráfico definido pelas equações paramétricas
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e entender como elas nos ajudam a encontrar as retas tangentes em curvas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as retas tangentes a uma curva paramétrica são determinadas pelas derivadas de
e
em relação a
. A derivada de
em relação a
é dada por:
Essa expressão nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente em cada ponto da curva.
Passo 3
Para encontrar onde a reta tangente é horizontal, precisamos que a inclinação seja zero. Isso acontece quando:
Desde que
nesse ponto.
Passo 4
Vamos calcular
:
Igualando a zero para encontrar os valores de
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar as coordenadas
e
correspondentes a
:
Passo 6
A reta tangente horizontal passa pelo ponto
e tem inclinação zero. Então, a equação da reta é:
Passo 7
Agora, vamos encontrar as retas tangentes verticais. Para que a reta tangente seja vertical, a inclinação deve ser indefinida, ou seja,
, desde que
.
Passo 8
Calculando
:
Igualando a zero:
Passo 9
Encontrando as coordenadas correspondentes a
:
Passo 10
A reta tangente vertical passa pelo ponto
. Como é vertical, a equação da reta é:
Resposta
As retas tangentes ao gráfico das equações paramétricas
e
são:
- Reta tangente horizontal:
- Reta tangente vertical:
Exercícios relacionados
Ache
e
sem eliminar o parâmetro.
Utilize o Teste da Comparação para justificar a convergência ou divergência das seguintes séries:
.
Se
for a medida em radianos do ângulo entre
e
, ache
.
Ache o comprimento do arco dado.