Ache a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado.
d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a curvatura e o raio de curvatura no ponto específico dado pela função vetorial para . Isso faz parte do estudo de Movimento e Curvas na Matemática, onde a gente analisa como uma trajetória se comporta em determinado ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é curvatura e raio de curvatura. Curvatura mede o quanto uma curva está “curvada” em um ponto específico. Quanto maior a curvatura, mais acentuada é a curva. Já o raio de curvatura é o inverso da curvatura e indica o raio do círculo que melhor aproxima a curva nesse ponto, chamado de círculo osculador.

Passo 3

Para calcular a curvatura, precisamos das derivadas primeira e segunda da posição . Vamos encontrar e :
Derivando em relação a :
E derivando novamente:

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula da curvatura :
Onde representa o produto vetorial e é a norma do vetor.
Primeiro, calculamos o produto vetorial :
Simplificando:
A norma desse vetor é:
Agora, vamos calcular :
Então,

Passo 5

Vamos avaliar tudo em :
Primeiro, calculando as funções trigonométricas:
Substituindo na expressão do produto vetorial:
Agora, calculando :
Finalmente, a curvatura é:

Resposta

A curvatura no ponto dado é e o raio de curvatura é .

Exercícios relacionados

Ache o vetor mais geral cuja derivada é a função dada.
Ache o comprimento do arco dado.
Ache o vetor posição .
Verifique se o limite de cada item existe. Caso exista, determine-o.
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