Ache o comprimento do arco dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para achar o comprimento do arco da curva definida por
no intervalo de
de 0 a 1. Para isso, vamos utilizar o conceito de comprimento de arco de uma curva paramétrica.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o comprimento do arco
de uma curva parametrizada por
de
a
é dado pela integral:
Então, nosso objetivo é encontrar
e
.
Passo 3
Vamos identificar
e
na função
:
Passo 4
Agora, vamos derivar
e
em relação a
:
Passo 5
Aplicando a regra do produto para derivar
:
Passo 6
E para
:
Passo 7
Agora, vamos calcular
:
Passo 8
Expandindo os termos:
Passo 9
Somando os dois:
Passo 10
Sabemos que
, então:
Passo 11
Agora, a expressão para o comprimento do arco fica:
Passo 12
Calculando a integral:
Resposta
O comprimento do arco é
.
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Ache
e
.
Ache as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arco s como parâmetro, onde s é medido a partir do ponto onde
.