Ache o comprimento do arco dado.
R(t) = e^(t) cos(t) i + e^(t) sen(t) j, 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para achar o comprimento do arco da curva definida por no intervalo de de 0 a 1. Para isso, vamos utilizar o conceito de comprimento de arco de uma curva paramétrica.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o comprimento do arco de uma curva parametrizada por de a é dado pela integral:
Então, nosso objetivo é encontrar e .

Passo 3

Vamos identificar e na função :

Passo 4

Agora, vamos derivar e em relação a :

Passo 5

Aplicando a regra do produto para derivar :

Passo 6

E para :

Passo 7

Agora, vamos calcular :

Passo 8

Expandindo os termos:

Passo 9

Somando os dois:

Passo 10

Sabemos que , então:

Passo 11

Agora, a expressão para o comprimento do arco fica:

Passo 12

Calculando a integral:

Resposta

O comprimento do arco é .

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