Ache
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os vetores tangente
e normal
para a curva dada por
. Esse problema está na área de cálculo vetorial, especificamente no estudo de curvas parametrizadas. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da posição
para achar o vetor velocidade, depois normalizar para encontrar
e, por fim, calcular a derivada de
para obter
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que nos dá o vetor velocidade
. Isso representa a taxa de variação da posição em relação ao tempo.
Passo 3
Calculando
:
Derivando cada componente em relação a
:
Passo 4
Agora, para encontrar o vetor tangente unitário
, precisamos normalizar
. Isso significa dividir
pelo seu módulo
.
Passo 5
Calculando o módulo de
:
Mas simplificando, percebemos que:
No entanto, para simplificar o cálculo, observamos que:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora que temos
, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que nos dará o vetor normal
. Primeiro, derivamos cada componente de
.
Passo 7
Derivando
:
Aplicando a regra do quociente para cada componente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Passo 8
Portanto, a derivada de
é:
Agora, para obter
, precisamos normalizar
.
Resposta
Os vetores tangente e normal são dados por: