Ache T(t) e N(t).
R(t) = raiz(1 + t^2) * i + t * j

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os vetores tangente e normal para a curva dada por . Esse problema está na área de cálculo vetorial, especificamente no estudo de curvas parametrizadas. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da posição para achar o vetor velocidade, depois normalizar para encontrar e, por fim, calcular a derivada de para obter .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a , que nos dá o vetor velocidade . Isso representa a taxa de variação da posição em relação ao tempo.

Passo 3

Calculando :
Derivando cada componente em relação a :

Passo 4

Agora, para encontrar o vetor tangente unitário , precisamos normalizar . Isso significa dividir pelo seu módulo .

Passo 5

Calculando o módulo de :
Mas simplificando, percebemos que:
No entanto, para simplificar o cálculo, observamos que:
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora que temos , vamos encontrar a derivada de em relação a , que nos dará o vetor normal . Primeiro, derivamos cada componente de .

Passo 7

Derivando :
Aplicando a regra do quociente para cada componente:
Primeira componente:
Segunda componente:

Passo 8

Portanto, a derivada de é:
Agora, para obter , precisamos normalizar .

Resposta

Os vetores tangente e normal são dados por:

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