Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação é dada em coordenadas esféricas.
rho = 6 sen(phi) sen(theta) + 3 cos(phi)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação da superfície em coordenadas esféricas e precisamos encontrar a mesma equação em coordenadas cartesianas. Para isso, vamos usar as fórmulas que relacionam as coordenadas esféricas com as coordenadas cartesianas .

Passo 2

As fórmulas de conversão entre coordenadas esféricas e cartesianas são:
Essas fórmulas nos permitem transformar qualquer equação em coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas.

Passo 3

Vamos substituir a equação dada nas fórmulas de conversão.
Primeiro, observamos que:
Substituindo na equação de e :

Passo 4

Para simplificar, vamos expressar tudo em termos de , e . Sabemos que:
Substituindo na equação original:
Agora, substituímos por e por :
Multiplicando ambos os lados por para eliminar a raiz:

Resposta

A equação da superfície em coordenadas cartesianas é:

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R(t) = e^(t) cos(t) i + e^(t) sen(t) j, 0 <= t <= 1