Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação é dada em coordenadas esféricas.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação da superfície em coordenadas esféricas e precisamos encontrar a mesma equação em coordenadas cartesianas. Para isso, vamos usar as fórmulas que relacionam as coordenadas esféricas
com as coordenadas cartesianas
.
Passo 2
As fórmulas de conversão entre coordenadas esféricas e cartesianas são:
Essas fórmulas nos permitem transformar qualquer equação em coordenadas esféricas para coordenadas cartesianas.
Passo 3
Vamos substituir a equação dada
nas fórmulas de conversão.
Primeiro, observamos que:
Substituindo
na equação de
e
:
Passo 4
Para simplificar, vamos expressar tudo em termos de
,
e
. Sabemos que:
Substituindo
na equação original:
Agora, substituímos
por
e
por
:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar a raiz:
Resposta
A equação da superfície em coordenadas cartesianas é:
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