Ache as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arco s como parâmetro, onde s é medido a partir do ponto onde
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a curva definida por
e queremos achar as equações paramétricas dela usando o comprimento de arco
como parâmetro. Isso significa que vamos expressar
e
em função de
, que é a distância medida ao longo da curva a partir do ponto onde
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente o de comprimento de arco e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as equações paramétricas geralmente são expressas em termos de um parâmetro
, ou seja,
e
. No nosso caso, queremos que o parâmetro seja o comprimento de arco
. Para isso, precisamos relacionar
com
de modo que a taxa de variação de
em relação a
seja constante.
Passo 3
Vamos começar calculando o comprimento de arco
em termos de
. O comprimento de arco de uma curva definida por
de
a
é dado pela fórmula:
No nosso caso,
, então primeiro vamos encontrar
:
Passo 4
Substituindo
na fórmula do comprimento de arco:
Essa integral pode ser resolvida por substituição. Vamos fazer
, então
, ou
. A integral fica:
Passo 5
Agora, queremos expressar
em termos de
. A equação que temos é:
Para simplificar, vamos isolar a expressão envolvendo
:
Elevando ambos os lados à potência
:
Agora, isolando
:
Passo 6
Finalmente, substituímos
nas equações paramétricas originais. Sabemos que
e
. Então, as equações paramétricas em termos de
são:
Resposta
As equações paramétricas da curva em função do comprimento de arco
são:
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Ache
e
.
Ache o comprimento do arco dado.
Ache o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.
Ache o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.