Ache as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arco s como parâmetro, onde s é medido a partir do ponto onde t = 0.
y = raiz(x^3)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a curva definida por e queremos achar as equações paramétricas dela usando o comprimento de arco como parâmetro. Isso significa que vamos expressar e em função de , que é a distância medida ao longo da curva a partir do ponto onde . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente o de comprimento de arco e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as equações paramétricas geralmente são expressas em termos de um parâmetro , ou seja, e . No nosso caso, queremos que o parâmetro seja o comprimento de arco . Para isso, precisamos relacionar com de modo que a taxa de variação de em relação a seja constante.

Passo 3

Vamos começar calculando o comprimento de arco em termos de . O comprimento de arco de uma curva definida por de a é dado pela fórmula:
No nosso caso, , então primeiro vamos encontrar :

Passo 4

Substituindo na fórmula do comprimento de arco:
Essa integral pode ser resolvida por substituição. Vamos fazer , então , ou . A integral fica:

Passo 5

Agora, queremos expressar em termos de . A equação que temos é:
Para simplificar, vamos isolar a expressão envolvendo :
Elevando ambos os lados à potência :
Agora, isolando :

Passo 6

Finalmente, substituímos nas equações paramétricas originais. Sabemos que e . Então, as equações paramétricas em termos de são:

Resposta

As equações paramétricas da curva em função do comprimento de arco são:

Exercícios relacionados

Ache T(t) e N(t).
R(t) = raiz(1 + t^2) * i + t * j
Ache o comprimento do arco dado.
R(t) = e^(t) cos(t) i + e^(t) sen(t) j, 0 <= t <= 1
Ache o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.
R(t) = (t + 1) i - t^2 j + (1 - 2t) k
Ache o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.
R(t) = 2t cos(t) i + 5t j + 2t sen(t) k